Теорема Кронекера-Капелли:
Критерий совместности системы линейных уравнений для совместности системы уравнений:
необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы получающейся из матрицы добавлением столбца, свободных членов
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A ∙ X=B.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
Пусть определитель матрицы отличен от нуля | A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E ∙ X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.