Индивидуальное задание № 2

1 2 3 4 5 6 7

По теме «Приложение векторной алгебры к решению

Задач математики.»

В задачах 1 – 30 указаны координаты вершин пирамиды АВСД. Требуется:

1) записать векторы в системе орт и вычислить модули этих векторов;

2) определить угол между векторами ;

3) определить проекцию вектора на вектор ;

4) вычислить площадь грани АВС;

5) вычислить объём пирамиды АВСД и длину высоты ДН.

1) А(3;1;1), В(7;5;-1), С(5;12;-9), Д(3;3;2);

2) А(4;-1;-1), В(8;3;-3), С(6;10;-11), Д(4;1;0);

3) А(2;-3;2), В(6;1;0), С(4;8;-8), Д(2;-1;3);

4) А(-2;2;0), В(2;6;-2), С(0;13;-10), Д(-2;4;1);

5) А(5;-2;4), В(9;2;2), С(7;9;-6), Д(5;0;5);

6) А(2;-3;1), В(6;1;-1), С(4;8;-9), Д(2;-1;2);

7) А(5;-1;-4), В(9;3;-6), С(7;10;-14), Д(5;1;-3);

8) А(1;-4;0), В(5;0;-2), С(3;7;-10), Д(1;-2;1);

9) А(-3;-6;2), В(1;-2;0), С(-1;5;-8), Д(-3;-4;3);

10) А(-1;1;-5), В(3;5;-7), С(1;12;-15), Д(-1;3;-4);

11) А(-4;2;-1), В(0;6;-3), С(-2;13;-11), Д(-4;4;0);

12) А(0;4;3), В(4;8;1), С(2;15;-7), Д(0;6;4);

13) А(-2;0;-2), В(2;4;-4), С(0;11;-12), Д(-2;2;-1);

14) А(3;3;-3), В(7;7;-5), С(5;14;-13), Д(3;5;-2);

15) А(4;-2;5), В(8;2;3), С(6;9;-5), Д(4;0;6);

16) А(-5;0;1), В(-4;-2;3), С(6;2;11), Д(3;4;9);

17) А(1;-4;0), В(2;-6;2), С(12;-2;10), Д(9;0;8);

18) А(-1;-2;-8), В(0;-4;-6), С(10;0;2), Д(7;2;0);

19) А(0;2;-10), В(1;0;-8), С(11;4;0), Д(8;6;-2);

20) А(3;1;-2), В(4;-1;0), С(14;3;8), Д(11;5;6);

21) А(-8;3;-1), В(-7;1;1), С(3;5;9), Д(0;7;7);

22) А(2;-1;-4), В(3;-3;-2), С(13;1;6), Д(10;3;4);

23) А(-4;5;-5), В(-3;3;-3), С(7;7;5), Д(4;9;3);

24) А(-2;-3;2), В(-1;-5;4), С(9;-1;12), Д(6;1;10);

25) А(-3;4;-3), В(-2;2;-1), С(8;6;7), Д(5;8;5);

26) А(-5;2;-4), В(-4;0;-2), С(6;4;6), Д(3;6;4);

27) А(-7;3;1), В(-6;1;3), С(4;5;11), Д(1;7;9);

28) А(-6;-4;-3), В(-5;-6;-1), С(5;-2;7), Д(2;0;5);

29) А(-1;-3;3), В(0;-5;5), С(10;-1;13), Д(7;1;11);

30) А(4;-1;-2), В(5;-3;0), С(15;1;8), Д(12;3;6);

Пример. Даны координаты вершин пирамиды АВСД:

А(0;1;3), В(1;-1;5), С(11;3;13), Д(-2;1;7).

Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) определить угол между векторами ;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) вычислить площадь грани АВС;

6) вычислить объём пирамиды АВСД и длину высоты ДН.

Решение: Произвольный вектор с координатами (а_х;а_у;а_z) может быть представлен в системе орт следующей формулой: Если даны точки М₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂), то координаты вектора находятся по формулам: a_x= x₂-x₁, a_y= y₂-y₁, a_z= z₂-z_1.

Представим векторы и в системе орт следующим образом:

Модуль вектора вычисляется по формуле: . Найдем модули векторов и : .

2) Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, делённому на произведение их модулей: где .

Тогда

3) Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль этих вектора , т.е.

В нашем случае получим

4) Пусть вектор есть векторное произведение вектора на вектор . Тогда модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна половине модуля вектора .

Таким образом, площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения векторов и .

Итак, вектор .

Найдём :

5) Объём параллелепипеда, построенного на трёх некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Из школьного курса геометрии известно, что объём пирамиды равен объёма параллелепипеда:

Вычислим смешанное произведение трёх некомпланарных векторов , и :

Следовательно .

Для того чтобы найти длину высоты воспользуемся формулой из школьного курса геометрии , .

Таким образом .

Иначе высоту h можно вычислить таким образом: высота есть модуль проекции вектора на вектор , получившийся в результате векторного произведения векторов и :

, где