Сформулювати і довести теорему Гюйгенса-Штейнера

ІV. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Рух твердого тіла в загальному випадку визначається двома векторними рівняннями: рівнянням, що характеризує поступальний рух,

(10.1)

та рівнянням обертового руху відносно нерухомої осі:

. (10.2)

Як видно із цих рівнянь вони аналогічні, лише в рівнянні обертового руху роль маси т відіграє момент інерції J, роль лінійного прискорення – кутове прискорення , а роль результуючої сумарної сили – сумарний момент сили .

Момент інерції матеріальної точки дорівнює добутку маси матеріальної точки на квадрат відстані її від осі обертання:

. (10.3)

Момент сили відносно деякої точки обертання - це векторний добуток радіус-вектора , проведеного від точки обертання до точки, на яку дії сила , на цю силу

(10.4)

Момент імпульсу - векторний добуток радіус-вектора, що характеризує положення матеріальної точки відносно т. 0 вибраної системи відліку, на її імпульс

. (10.5)

V. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ

Маятник Обербека в даному приладі РМ-06 – це інерційна обертова система у вигляді хрестовини із стержнів. На чотирьох взаємно перпендикулярних стержнях можуть вільно переміщатися вантажі. На горизонтальній осі обертання хрестовини є диск з двома різними радіусами, на який намотується нитка. Один кінець нитки закріплюється на диск, а на другий кінець нитки підвішується тягарець. Під впливом падаючого тягарця нитка розмотується з диска і викликає обертовий рух хрестовини. При обертанні твердого тіла момент інерції не залежить від часу і основне рівняння динаміки твердого тіла відносно нерухомої осі має вигляд:

J ×e = M (10.6)

де – сума проекцій на вісь обертання всіх моментів сил, що діють на тіло, J – момент інерції тіла відносно осі обертання, = – його кутове прискорення.

На рис.10.1 зображений загальний вигляд приладу РМ-06. На вертикальній колоні (1), встановленій на основі (2), закріплені два кронштейни: нижній нерухомий (3) та верхній рухомий (4) і дві нерухомі втулки: нижня (5) і верхня (6). Вирівнювання положення приладу встановлюється за допомогою регулюючих ніжок. На верхній втулці (6) з допомогою основи (8) закріплений підшипниковий вузол диска (9) і диск (10). Через диск перекидається нитка (11). Один її кінець прикріпляється до одного з радіусів диска (12), а на другому кінці закріплюються тягарці (13). На задній нижній втулці (5) на основі (14) закріплений гальмуючий електромагніт (15), який після підведення до нього напруги живлення, за допомогою фрикційної муфти, утримує хрестовини разом з вантажами в стані спокою. Рухомий кронштейн (4) можна переміщувати вздовж колони і фіксувати його в будь-якому положенні, визначаючи таким чином довжину шляху падіння тягарців. Для підрахунку довжини шляху на колоні нанесена міліметрова шкала. Похибка визначення довжини шляху складає ±1 мм. На рухомому кронштейні (4) закріплений фотоелектричний датчик №1 (17), на нерухомому кронштейні (3) закріплений фотоелектричний датчик №2 (18), який виробляє електричний імпульс кінця вимірювання часу і вмикає гальмуючий електромагніт. До кронштейна (3) прикріплена платформа (19) з гумовими амортизаторами, які відіграють роль обмежувачів руху тягарців. На основі приладу знаходиться мілісекундомір, до гнізд якого підведені фотоелектричні датчики № 1 і № 2.

Рис.10. 1

Обертовий момент сили М, створений силою натягу нитки F _н, визначається формулою

, (10.7)

де, r - радіус диска. Силу натягу нитки F _н визначають із рівняння поступального руху тягарців

ma = mg – F _н, (10.8)

де т - маса тягарців, а - їх прискорення, яке визначається за відомими часом t та шляхом h падіння:

. (10.9)

Використовуючи зв’язок між лінійним та кутовим e прискореннями

a = r ×e, (10.10)

(r - радіус диска), вираз (10.6) перепишемо у вигляді

. (10.11)

Формула (10.11) одержана при нехтуванні моментом сил тертя, прикладеним до осі маятника. В реальних умовах момент сил тертя M _т може виявитися досить значним і його необхідно врахувати в рівнянні (10.6), яке в цьому випадку набуде вигляду:

M – M _т = J ×e. (10.6а)

Момент сил тертя визначається як добуток мінімальної ваги тягарця, що приведе до обертання маятника, на радіус диска за формулою

М _т = т _min g × r . (10.12)

Змінюючи масу тягарця та радіус шківа, ми створюємо інший момент сили, при цьому момент інерції маятника Обербека залишається без змін. В цьому випадку відношення M /e= J =const, що відповідає рівності (з врахуванням (10.11)):

. (10.13)

Ця формула є кінцевою робочою формулою.

Насадження циліндриків на стержні хрестовини та зміна їх відстані від осі обертання приводить до зміни моменту інерції.

Позначимо через J ₀ - момент інерції маятника без циліндриків, J _0ц - сумарний момент інерції 4-x циліндриків відносно їх осей, що проходять через їх центр мас, J _1ц - момент інерції 4-х циліндриків відносно осі, паралельної до осей, що проходять через центр мас кожного з циліндриків (для кожного своя вісь), відстані між якими l _i. Якщо відстані l _i однакові, тобто l ₁= l ₂= l ₃= l ₄= l, то за теоремою Гюйгенса-Штейнера

J _1ц = J _0ц + 4 m _ц l ²,

де m _ц – маса одного циліндрика.

У випадку, коли 4 циліндрики насаджені на краях стержнів на однаковій відстані l ₁ від осі обертання маятника до центра циліндрика, момент інерції маятника Обербека визначається за формулою:

J ₁ = J ₀ + J _1ц = J ₀ + J _0ц + 4 m _ц , (10.14)

Коли циліндрики перемістити найближче до осі маятника, момент інерції стане:

J ₂ = J ₀ + J _2ц = J ₀ + J _0ц + 4 m _ц , (10.15)

де - відстань між центром циліндрика і віссю обертання. Оскільки , то

. (10.16)

Враховуючи те, що момент інерції можна визначити за формулою (10.11), вираз (10.16) перепишемо у вигляді

. (10.17)

Використавши вирази (10.11) і (10.13), одержують кінцеву робочу формулу

. (10.18)

Виконання рівностей (10.13) і (10.18) з урахуванням похибок вимірювань свідчать про справедливість рівняння обертового руху (10.6).

VІ. ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

Експлуатація приладу допускається лише при наявності заземлення!

Необхідно пересвідчитися в вертикальному положення колони приладу Встановити рухомий кронштейн на вибрану висоту і таким чином, щоб тягарці, рухаючись вниз, проходити через середину робочого віконця фотоелектричних датчиків. Натиснути кнопку “СЕТЬ” і перевірити, чи горять індикатори фотоелектричних датчиків і чи всі індикатори показують нуль. Перемістити тягарці в верхнє положення, дочекатися поки система опиниться в стані спокою. Натиснути кнопку “ПУСК” і перевірити наявність руху системи і фіксації часу падіння мілісекундоміром. Натиснути кнопку “СБРОС” і перевірити, чи встановилися покази вимірювача на нуль і чи зняте блокування електромагнітом.

Після такої попередньої перевірки готовності приладу, вимірювання провести в такій послідовності:

1. За допомогою штангенциркуля виміряти діаметри шківів (дисків), на які намотується нитка, та визначити їх радіуси r ₁ та r ₂. Виміри провести 5 разів.

2. Намотати нитку на один із дисків. Встановити нижній край тягарця масою т ₁=200 г точно за рискою на корпусі верхнього фотоелектричного датчика і по шкалі на колоні відрахувати довжину шляху його руху (падіння) h.

3. Натиснути кнопку “ПУСК” і виміряти час падіння тягарців на шляху h. Повторити виміри не менше 5 разів.

4. Проробити аналогічні виміри у випадку намотування нитки з іншим тягарцем (т ₂ = 300 г) на шків другого діаметру.

5. Насадити на стержні 4 циліндрики строго симетрично як найближче до осі маятника. Виміряти відстань l ₂ від осі обертання маятника до центра кожного циліндра не менше 5 разів. Усереднити значення відстані спочатку для кожного циліндрика, а потім для 4-х.

6. Повторити п.2-3, вимірюючи час падіння для цього випадку.

7. Всі циліндрики перемістити на край стержнів строго симетрично і виміряти нову відстань l ₁ між серединами кожного циліндра та віссю маятника, аналогічно як в п.5.

8. Вимірювання і для цього випадку провести згідно п.2, п.3 і п.4.

9. Дані занести в таблицю.

10. Оцінити величину моменту сил тертя в осі маятника. До кінця нитки прикріпляють тягарці, поступово збільшуючи їх до тих пір, доки маятник не почне обертатися. Найменше значення ваги такого тягарця знаходять не менше 5-ти разів. За формулою (10.12) визначають момент сил тертя. На основі оцінки відносної похибки, яка допускається, якщо нехтувати силою тертя, роблять висновок про доцільність використання рівняння (10.6) або (10.6а). Відносна похибка визначається як відношення величини моменту сил тертя до величини найменшого моменту сили натягу нитки.

11. Перевіряють постійність моменту інерції системи при різних моментах сил за формулою (10.13) за даними пп.2,4,5,6,7,8.

12. При постійних масах тягарців m ₁ і радіусах диска r ₁ при різних моментах інерції системи в залежності від відстані циліндриків по відношенню до осі маятника (п.5 та п.7) перевірити рівність (10.18).

13. Оцінити похибки вимірювань, користуючись схемою №1 та схемою №4.

14. Аналізуючи кінцеві результати вимірів, зробити короткі висновки.

VII. ПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ І САМОКОНТРОЛЮ

1. Сформулюйте та запишіть, що називається моментом сили, моментом інерції, моментом імпульсу матеріальної точки і тіла?

2. За яким правилом визначається напрям кутової швидкості?

3. Вкажіть розмірність моменту кількості руху:

1) ML²T^-1; 2) MLT^-2; 3) MLT²; 4) ML²T?

4. Яка формула виражає закон збереження кількості руху:

1) ; 2) mvR=const; 3) mv=const; 4)