2018-03-09
182
1. Повторите правила округления чисел;
2. Повторите правила действий с приближенными величинами
3. Повторите правила вычисления погрешностей
4. Разберите примеры
5. Выполните задания
Все числовые значения (числа), полученные в результате различного рода измерений, являются приближенными.
Определение 1. Значащими цифрами приближенного числа а называется все цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры
(Замечание. Нули в конце числа - всегда значащие цифры (в противном случае их не пишут)
Пример 1: числа 0,001604 - 4 значащих цифры; 30,500 - 5 значащих цифр.
Правила округления чисел:
1. Если первая слева из отбрасываемых цифр больше либо равна 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т.е. увеличивается на единицу.
2. Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то последняя из оставшихся цифр не усиливается, т.е. остается без изменения.
3. Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и за ней не следует отличных от нуля цифр, то последняя оставшаяся цифра усиливается, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).
|
|
|
Пример 2: Округлить до сотых
5,785 
5,78 усиление не делаем т.к. последняя сохраняемая цифра «8» - четная.
5,775 
5,78. последняя сохраняемая цифра «7» увеличивается на единицу, т.к. «7» - нечетная
Определение 2. Если число х является приближенным значением некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то модуль разности чисел а и х называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается ∆ х.
∆х=|а-х |, где а - точное значение, х - приближенное значение
Определение 3. Относительной погрешностью δ приближенного значения х числа а называется отношение абсолютной погрешности этого приближения к числу х.
Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерений или вычислений. Относительная погрешность позволяет сравнивать качество измерений величин разной размерности.
Пример 3. Пусть при расчете сопротивления проводника мы получили следующий результат: 
и 
. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру 
. Затем округляем среднее значение с точностью до целых 
. Вычисляем относительную погрешность
.
Результат измерений записываем так (в виде доверительного интервала):
; 
; 
По характеру проявления и причинам появления погрешности можно условно разделить на следующие классы: приборные, систематические, случайные, и промахи (грубые ошибки).
П р о м а х и обусловлены либо неисправностью прибора, либо нарушением методики или условий эксперимента, либо имеют субъективный характер.
Приборные погрешности. Принято приборную погрешность стрелочного прибора считать равной половине наименьшего деления его шкалы. В приборах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к величине одного наименьшего разряда шкалы прибора.
|
|
|
Систематические погрешности - это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов.
Случайные погрешности - это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одной и той же величины
Определение 4. Приближенное число a =α1×10 m + α2×10 m-1 +… αn×10 m-n+1 +…
содержит n верных значащих цифр в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого n -й значащей цифрой, считая слева направо, т.е. если выполняется неравенство
∆ a ≤0,5×10 m-n+1
Если это неравенство не выполняется, то цифру αn называют сомнительной. Если цифра αn - верная, то и все предшествующие её цифры тоже верные.
Определение 5. Приближенное число a =α1×10 m + α2×10 m-1 +… αn×10 m-n+1 +…
содержит n верных значащих цифр в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, выражаемого n -й значащей цифрой, считая слева направо, т.е. если выполняется неравенство.
∆ a ≤1×10 m-n +1
Пример 4: Сколько верных значащих цифр содержит приближенное число а=85,267±0,0084 в узком и широком смысле.
а) а=0,0084, а=8×101+5×100+2×10-1+6×10-2+7×10-3
«7» 0,0084>0,5-10-3, 0,0084>0,0005 => цифра «7» сомнительная
«6» 0,0084>0,5-10-2, 0,0084>0,005 => цифра «6» сомнительная
«2» 0,00840<5-10-1, 0,0084<0,05 => цифра «2» верная в узком смысле
Ответ: цифры 8,5,2 - верные в узком смысле
б) «7» 0,0084> 1×10-3, 0,0084>0,001 => цифра «7» сомнительная
«6» 0,0084<1×10-2, 0,0084<0,01 => цифра «6» верная в широком смысле
Ответ: цифры 8,5,2,6 - верные в широком смысле
Если цифра αn приближенного числа а верная, то за относительную погрешность можно принять
δa= 
(в узком смысле), δa= 
(в широком смысле).
где α1 -первая значащая цифра числа, n -количество верных значащих цифр.
Правила подсчета (по Брадису):
1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.
2. При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр.
3. При возведении приближенного числа в квадрат или куб в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном числе.
4. При извлечении квадратного и кубического корня из приближенного числа в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе.
5. При вычислении промежуточных результатов следует сохранить на одну цифру больше, чем рекомендуют правила 1-4. в окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается.
6. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при других действиях), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну «запасную цифру».
7. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с m верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают m +1 цифру в результате
Вопросы для самоконтроля:
1. Дайте определение значащих чисел.
2. Опишите правила округления
3. Как определить абсолютную т относительную погрешность вычислений
4. Охарактеризуйте виды погрешностей.
5. В каких дисциплинах вы пользуетесь приближенными вычислениями?
|
|
|
