Рівняння Бернуллі для елементарного струмка нев'язкої рідини

Розглядаючи елементарний струмок рідини при сталому русі, що відбувається в полі потенційних сил (ваги і тиску), можна проінтегрувати рівняння (52) – (54). У прямокутній сис темі координат орієнтуємо площину горизонтально, нормально до прискорення сили ваги (рис. 18). У цих умовах проекції одиничних масових сил будуть: ; ; . Підставляючи їх значення в рівняння (52) – (54) і з огляду на, те що у всіх крапках живого перетину елементарного струмка частки рухаються з однаковою швидкістю , одержимо:

(55)

Проінтегрував ці вираження:

(56)

(57)

(58)

Рівняння (56) – (58) є основними при рішенні багатьох задач у гідравліці. Вони представляють математичне вираження закону збереження енергії уздовж елементарного струмка.

Члени рівняння Бернуллі виражають запас енергії, який володіє одиниця маси (56), обсягу (57) чи сили ваги (58) відносно довільно прийнятої (див. рис. 18) горизонтальної площини . Площина, щодо якої складається рівняння Бернуллі, називають площиною порівняння.

Усі члени рівняння (56) виражають питому енергію рідини в даному перетині щодо прийнятої площини порівняння. Найбільше зручно цим видом рівняння користуватися при дослідженні руху газів з перемінною щільністю, наприклад у рудничних пневмомережах, компресорах, пневмоприводах.

Якщо при русі газів тиск і температура по довжині струмка змінюються значно, то щільність , міняється істотно. Отже, у рівнянні (56) інтеграл буде зважуватися в залежності від процесу, по якому відбувається зміна стану газу.

Розглянемо два процеси – адіабатний і ізотермічний. При адіабатному процесі, що характеризується сталістю кількості тепла в газу, рівняння (56) прийме вид

(59)

При ізотермічному процесі, що характеризується сталістю температури тобто , рівняння (56) прийме вид

(60)

Якщо при русі газу зміни тиски незначні і температура постійна, то з достатнім ступенем точності можна вважати . У цих умовах зручно користатися рівнянням (57), що прийме вид

(61)

Цим вираженням зручно користатися при дослідженні руху повітря у вентиляційних мережах і вентиляторах.

При русі краплинної рідини (наприклад, води, нафти), щільність якої постійна, зручніше за все використовувати рівняння (58), що для прийме вид

(62)

Рівнянням (62) широко користуються при розрахунках водопроводів, водовідливних труб, насосів. Доданки в рівнянні (62) являють собою окремі види напору рідини: – геометричний напір, – пьезометричний напір (у сумі ці два напори дають статичний напір, що визначає питому потенційну енергію) і – швидкісної (динамічний) напір, що визначає питому кінетичну енергію, віднесену до одиниці сили ваги (ваги).

Якщо взяти два перетини уздовж елементарного струмка нев'язкої рідини (рис. 19), то рівняння (62) можна записати у виді

(63)

Геометричні висоти і центрів перетинів відміряються від так називаної площини порівняння (довільно обраної по висоті). Тиски в перетинах і – і . Швидкості і по перетинах розподілені рівномірно. Пьезометричний напір виміряється за допомогою пьезометричної трубки, а сума пьезометричного і швидкісного напорів – за допомогою трубки Піто.

Стосовно до двох перетинів елементарного струмка нев'язкої рідини рівняння (59) – (61) можна записати у виді

(64)

(65)

(66)

5.3. Рівняння Бернуллі для елементарного струмка і потоку грузлої рідини

Повний напір у будь-якому перетині струмка грузлої рідини визначається тими ж складовими, що і для нев'язкої рідини. Однак значення повного напору в перетинах буде різне, тому що частина енергії в грузлій рідині витрачається на подолання гідравлічних опорів (тертя часток друг об друга, об стінки). При цьому частина гідравлічної енергії перетвориться в теплову чи механічну і розсіюється в зовнішнє середовище. Отже, напір у перетині (рис. 20) буде менше, ніж у перетині на величину втрат напору. Останні визначаються як різниця повних напорів у відповідних перетинах .

Звідси, якщо одержимо рівняння Бернуллі для струмка грузлої рідини

(67)

(68)

Аналогічні корективи введемо й у праві частини рівнянь Бернуллі для струмка грузлого газу при . Тоді

(69)

(70)

Основне розходження рівнянь Бернуллі для потоку й елементарного струмка полягає у визначенні швидкісного напору в живому перетині. На відміну від елементарного струмка швидкості часток рідини в різних крапках живого перетину неоднакові, тому при визначенні кінетичної енергії через середню швидкість допускається неточність, яку необхідно врахувати.

Кінетична енергія всього потоку рідини, що проходить через перетин , складається із суми кінетичних енергій окремих струмків, перетин яких . Нехай об'ємна витрата рідини через весь перетин дорівнює , а витрата через елементарну площадку перетину – , і розглядається плин за період часу .

Тоді кінетична енергія при фактичному розподілі швидкостей , кінетична енергія при ідеалізованій, усередненій швидкості і шуканий коефіцієнт

(71)

Якщо в рівняннях (67) і (68) замість місцевої швидкості , підставити середню швидкість , увівши виправлення до швидкісного напору , одержимо рівняння Бернуллі для потоку рідини при

(72)

(73)

Такі ж корективи потрібно внести для газового потоку при в рівняння (69) і (70). Тоді

(74)

(75)

Розсіювання енергії, утрати покриваються в основному за рахунок потенційної енергії і можуть бути виражені як утрати напору (72), утрати тиску (73), утрати питомої енергії (74) і (75).

Для потоку краплинної рідини (72) відношення втрат напору до довжини потоку (трубопроводу) називається гідравлічним ухилом:

Зокрема, для горизонтального рівномірного потоку ; ; . Відповідно до рівняння (72), утрати напору визначаються зміною пьезометричного напору (рис. 20) і тому гідравлічний ухил