Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

 

Это можно осуществить с помощью введения суперкритерия – скалярной функции векторного аргумента: , так что задача сведется к максимизации этого суперкритерия:

 

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине I_sup, выделив, таким образом, наилучшую (в смысле этого суперкритерия) альтернативу. Конкретный вид функции I_sup определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого частного критерия в суперкритерий. Чаще всего используют аддитивные функции вида:

(1)

 

или мультипликативные функции вида:

(2)

 

 

Коэффициенты α_i и β_i отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий. Коэффициенты γ_i обеспечивают безразмерность величин I_i / γ_i, что необходимо, например, когда частные критерии имеют разную размерность, препятствующую выполнению арифметических операций над ними (бессмысленно, например, складывать килограммы с рублями!). Кроме того, при необходимости указанные коэффициенты обеспечивают нормирование (например, в приведенном выражении (2) должно выполняться условие                

(3)

 

Достоинства и недостатки свертки (скаляризации) критериев

 

Преимущество объединения нескольких критериев (векторного критерия) в один скалярный суперкритерий состоит в возможности однократного использования процедуры поиска экстремума этого критерия одним из известных методов и одновременного удовлетворения при этом требованиям всех различных частных критериев, входящих в суперкритерий.

Недостатком является то, что суперкритерий выполняет роль функции, упорядочивающей альтернативы в многомерном пространстве критериев. Однако известно, что упорядочивание точек (альтернатив) в многомерном пространстве в принципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Поэтому даже небольшое изменение суперкритерия (например, его коэффициентов α_i и γ_i) может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива будет сильно отличаться от прежней.

На рисунке 3 видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (1):

 

 

что отражается в изменении наклона соответствующей прямой:

 

Линейные комбинации частных критериев придают упорядочению смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше».

 

Рис. 3. Изменение выбора наилучшей альтернативы при смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции

 

Другой вариант поиска альтернативы, наиболее удаленной от нуля в заданном направлении.

 

                                                      (4)

 

Это означает поиск вокруг направления

методом «подтягивания самого отстающего».