Степенная функция с натуральным

 показателем

В данном случае область ее определения является вся числовая ось.

Если п – четное число (п = 2 к), то х^п – четная функция, так как (- х)^{2 к} = х ^2к.

Если п – нечетное число, т.е. п = 2 к - 1, то х^п – нечетная функция, так как  (- х)^{2 к -1} = х^{2к - 1} .

Функция у = х^п (при любом натуральном п) является возрастающей в интервале (0, +∞).

Иллюстрация этого служат графики функции у = х², у = х³ (рис. 11 и 12.).

 

Рис. 11                                Рис. 12

 

Степенная функция с целым отрицательным показателем

По определению

.

Легко убедиться, что в интервале (-∞, 0) функция возрастает, если n – четное, и убывает, если n нечетное.

Иллюстрацией также могут служить графики функций (рис. 13) и  (рис. 14).

 

Рис. 13                                Рис. 14

Степенная функция с дробным показателем

Рассмотрим функцию

,

где - несократимая дробь. Условимся, что q > 0, тогда знак дроби будет определяться знаком числителя р.

По определению, для тех х, при которых существует.

Рассмотрим два случая: а) р > 0, б) p < 0.

В первом случае имеем степенную функцию с дробным положительным показателем.

Если q четное, то функция определена на полуинтервале (0, +∞). Если же q нечетное, то функция определена на всей числовой оси, поскольку из отрицательных чисел можно извлекать корень с нечетным показателем. Например:

а) функция задана в виде . Определена только на полуинтервале (0, +∞), рис. 15;

б) функция определена на всей числовой оси (рис. 16);

в) функция определена при любом х (рис. 17), т.е. интервал симметричен относительно нуля;

г) функция (рис. 18).

 

Рис. 15                                Рис. 16

 

 

Рис. 17                                Рис. 18

 

 

Рис. 19 (с различными положительными показателями)

Рис. 20 (с отрицательными показателями)

 

Пусть теперь р < 0. Получим степенную функцию с дробным отрицательным показателем. Функция , где р и q - натуральные числа.

.

Поскольку функция  возрастает в интервале (0, + ∞), то функция убывает на этом же интервале.

На рис. 19 показаны графики степенных функция с различными положительными показателями, а на рис. 20 с отрицательными показателями. На обоих рисунках графики построены для х > 10.