2018-02-14
872
3.4.1. 
3.4.2. 
3.4.3. 
3.4.4. 
3.4.5. 
3.4.6. 
3.4.7. 
3.4.8. 
3.4.9. 
3.4.10. 
3.4.11. 
3.4.12. 
3.4.13. 
3.4.14. 
3.4.15. 
3.4.16. 
3.4.17. 
3.4.18. 
3.4.19. 
3.4.20. 
3.4.21. 
3.4.22. 
3.4.23. 
3.4.24. 
3.4.25. 
3.4.26. 
3.4.27. 
3.4.28. 
3.4.29. 
3.4.30. 
3.5. Исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя
системы нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка
|
|
|
В ряде случаев, в том числе при решении физических задач (см. ниже п. 3.7), исследование на устойчивость точки покоя нелинейной системы дифференциальных уравнений первого порядка можно заменить исследованием на устойчивость точки покоя линейной системы. Этот метод называют исследованием на устойчивость по первому приближению. Покажем его применение на примере.
Пример 3.6. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя системы
(3.10)
Решение. 1) Раскладываем функции 
по формуле Тейлора
(3.11)
2) Взяв из разложений (3.11) только линейные и подставив их вместо функций в (3.10), получим систему первого приближения 
3) Составляем характеристическое уравнение для системы первого приближения 
. Находим его корни 
.
4) Так как 
, то точка покоя системы линейного приближения устойчива.
Согласно теории, если все корни характеристического уравнения для системы линейного приближения имеют отрицательные действительные части, то точки покоя системы первого приближения и исходной системы дифференциальных уравнений одновременно устойчивы, причём асимптотически.
Если среди корней характеристического уравнения хотя бы один имеет положительную действительную часть, то точки покоя системы первого приближения и исходной нелинейной системы одновременно неустойчивы.
Если все действительные части корней характеристического уравнения неположительные, причем действительная часть хотя бы одного из них равна нулю, исследование на устойчивость по первому приближению невозможно, так как в исходной нелинейной системе на устойчивость начинают влиять нелинейные члены разложения функций в ряд Тейлора.
|
|
|
В рассматриваемом примере комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Поэтому точка покоя системы линейного приближения, а вместе с ней точка покоя исходной нелинейной системы являются асимптотически устойчивыми.
Ответ. Асимптотически устойчива.
