2018-02-20
549
Глава №1
Пример 1. Определите доверительный интервал среднего арифметического для выборки результатов, полученных при определении содержания массы Na2CO3 в 100 мл раствора соды прямым титрованием его аликвотных частей раствором соляной кистоты в граммах: 0,2031; 0,2033; 0,2015; 0,2048; 0,2020, где число вариант n=5, среднее арифметическое Х=0,2029г, а стандартное отклонение выборки S=0.0013г.
Решение. При вероятности Р=0,95 по табл.1 определяют коэффициент Стьюдента: в данном случае при n=5,t=2.776.
По формуле находят точность погрешности среднего арифметического выборки:
2.776·0.0013/√5=0.001614.
Поскольку точность погрешности среднего арифметического не может быть выше точности самой величины 
, после округления получают 
Следовательно, доверительный интервал составляет
0,2029±0,0016 или 0,2013< 
<0,2045 для Р=95%.
Таблица 1
Коэффициенты Стьюдента t
| Число вариант n | Число степеней свободы f=n-1 | Значения t при Р | ||
| 0,90 0,95 0,99 | ||||
| 2 | 1 | 6,314 | 12,71 | 65,66 |
| 3 | 2 | 2,920 | 4,303 | 9,925 |
| 4 | 3 | 2,353 | 3,182 | 5,841 |
| 5 | 4 | 2,132 | 2,776 | 4,604 |
| 6 | 5 | 2,015 | 2,571 | 4,034 |
| 7 | 6 | 1,94 | 2,45 | 3,71 |
| 8 | 7 | 1,90 | 2,37 | 3,5 |
| 9 | 8 | 1,86 | 2,31 | 3,36 |
| 10 | 9 | 1,83 | 2,26 | 3,25 |
| 11 | 10 | 1,81 | 2,23 | 3,17 |
| 16 | 15 | 1,75 | 2,13 | 2,95 |
| 21 | 20 | 1,73 | 2,09 | 2,85 |
Пример 2. Оцените наличие промахов в выборке результатов, приведенных в примере 1.
Решение. Располагают результаты выборки в порядке их возрастания и определяют диапазон выборки:
0,2015; 0,2020; 0,2031; 0,2033; 0,2048;
w=0.2048-0.2015=0.0033.
Поскольку в данной выборке n>3, проверяем на промах наибольшую варианту по уравнению:
Qp=(Xi+1 –Xi)/w, Qp- расчетная величина критерия; Xi+1-подвергаемое сомнению значение; Xi- соседнее с ним значение выборки; w-диапазон выборки.
Qp=(0,2048-0,2033)/0,0033=0,45.
По таблице 2 при Р=0,95 в случае n=5 Qt=0.73
Так как 0,45<0,73 или Qp< Qt,то проверяемое значение не является промахом. Следовательно, промахи в данной выборке отсутствуют.
Таблица 2
Табличные коэффициенты Qt
| Число вариант n | Значение Qt при Р | ||
| 0,90 | 0,95 | 0,99 | |
| 3 | 0,94 | 0,98 | 0,99 |
| 4 | 0,76 | 0,85 | 0,93 |
| 5 | 0,64 | 0,73 | 0,82 |
| 6 | 0,56 | 0,64 | 0,74 |
| 7 | 0,51 | 0,59 | 0,68 |
| 8 | 0,47 | 0,54 | 0,63 |
| 9 | 0,44 | 0,51 | 0,60 |
| 10 | 0,41 | 0,48 | 0,57 |
Пример 3. При кислотно-основном титровании аликвотных частей того же раствора соды, что и в примере 1, но выполненном с применением нового индикатора, была получена выборка результатов (в граммах): 0,2030; 0,2038; 0,2039; 0,2050. Оцените статистическую однородность стандартных отклонений обеих выборок и их средних арифметических значений, если применение Q-теста ко вновь полученной выборке показало, что промахи в ней отсутствуют, а рассчитанные ее метрологические характеристики следующие: 
2=0,2039; S22=67.7·10-8.
Решение. 1.Сравнив значения дисперсий рассматриваемых выборок, определяют расчетное значение F-критерия:
Первая выборка результатов: n1=5; X1=0.2029; S12=164.5·10-8.
Вторая выборка: n2=4; 1=0.2029; S22=67.7·10-8.
Так как S12> S22, в числитель уравнения Fp= S12/ S22,(S12-большая по значению дисперсия) F-критерия следует поместить значение дисперсии первой выборки результатов:
Fp=164,5·10-8/(67,7·10-8)=2,43.
По таблице 3 с учетом n1=5, a n2=4(соответственно f1=4, f2=3) для Р=0,95 определяют теоретическое значение F-критерия: Fт=9,12.
Поскольку 2,43<9,12 или Fp< Fт, расхождение между дисперсиями данных выборок незначительно, следовательно, обе выборки равнозначны.
Определяем средневзвешенную дисперсию по уравнению
(где индекс 1 относится к числу вариант (n) и дисперсии (S) первой вборки, индекс 2- соответственно ко второй.)
Рассчитаем t-критерий по уравнению
где 
-- расчетная величина t-критерия; n1 n2—число вариант выборки соответственно с дисперсией S12 S22.
= 
По таблице 1 для Р=0,95 и f=5+4-2=7 находим tт=2,37.
Так как 1,35<2,37 или tp<tт, следовательно, значимого различия между рассматриваемыми величинами средних арифметических значений не существует. Таким образом, применение нового индикатора не приводит к систематическим погрешностям при титровании, т.е. к изменению точности результатов.
