Кронекер – Капелли теоремасы. 4 страница

«Экономистерге арналған математика» бойынша курс лекциясы.

(Лекциялар-1.–15.)

Лекция 1. Кеңістіктегі декарттық координата жүйесі. Векторлар. Векторға қолданылатын сызықтық амалдар. Базис, базис бойынша жіктеу. Вектордың осьтегі проекциясы және оның координатасы. Координата түріндегі сызықтық амалдар. Бағыттаушы косинустар және вектордың ұзындығы.

Айталық кеңістікте өз ара перпендикуляр ОХ,ОУ,OZ осьтері берілсін.

Осы осьтердің оң бағыттары анықталып және бірлік масштабы таңдалсын. Осылай берілген үш өз ара перпендикуляр осін кеңістіктегі координат жүйесін құрайды деп атайды. ОXY, OYZ, OZX жазықтықтарын координаталар жазықтығы дейді.

Кеңістегі М нүкте арқылы координаттық осьтері перпендикуляр үш жазықтық өткізейік. А, В, С, осы үш жазықтықпен сәйкес ОХ, ОУ және OZ осьтерімен қиылысқан нүктелер. Бұл нүктелердің координаталары А(х,о,о), В(о,у.о) және С(о,о,z) болады (2 сурет). М нүктесінің, х- абсциссасы, у- ординатасы, z- апликатасы, немесе былай жазылады - М(x,y,z) (1 сурет).

z z

z₀M(x₀,y₀,z₀)

k А

i 0 у₀

х₀ 0 у

1 сурет х₁ у₁ у₂

х₂

х 2 сурет

Скалярлық және векторлық шамалар.

Егер кейбір шамалар тек қана сан мәндерімен сипатталса(мысалы; температура, уақыт, аудан, көлем т.б.) онда оларды скалярлық шама деп айталады.

Егер шамаларға сан шамадан да басқа бағыт берілсе оларды векторлық шамалар дейді.

Анықтама. Басы нүктесі А және соңы В нүктесі жылжытуға болатын, бағытталған AB кесіндісін вектор деп атаймыз. Сондықтан вектор екі шамамен сиппатталады- ұзындығымен және бағытымен. Вектордың белгіленуі: немесе . - вектор болғандықтан оған бағыт берілген. А- вектордың бас нүктесі, ал В- вектордың соңғы нүктесі. ұзындығы АВ кесіндісінің ұзындығына тең және өзіне-өзі параллель теріс емес санды айтамыз.

Вектордың модулін (ұзындығын) былай белгілейді.

Екі вектор өз ара тең болады, егер;

а) параллель түзулерде немесе бір түзуде орналасқан болса

б) модульдері өз ара тең болса

в) бір жаққа бағытталған болса.

Векторларды қосу. Екі векторды қосу үшін, бірінші вектордың соңғы нүктесіне екінші вектодың бас нүктесін сәйкестіріп, бірінші вектордың бас нүктесінен, екінші вектодың соңғы нүктесіне үшінші вектор жүргізеді (3- сурет) . Екі вектордың қосындысы деп,

олардың бастапқы нүктесінен шығатын және

осы векторлардан құралған

параллелограмның диагоналын айтады. (3-сурет)

(параллелограммм ережесі).

3-ші сурет

Осы ережеден шығатын векторларды қосу ережелерінің қасиеттері:

4. Векторларды азайту. және векторларының айырмасы деп болатындай векторын айтады және оны былай жазады (4-сурет)

және векторлары және бағытталған кесінділер арқылы өрнектелетін болсын. В нүктесінен А нүктесіне қарай вектор жүргіземіз, онда екені айқын, демек, .

Екі және вектордың айырмасын табу үшін

оларды ортақ бастапқы нүктеге келтіріп, азайтқыш

вектордың ұшын азайғыш вектордың ұшымен

қосса болады.

О b В

Вектордың координаталары деп, осы вектордың координаталар осіне түсірілген проекцияларын айтады. Яғни ,егер вектордың бас нүктесі және координаталар жүйесінің бас нүктесі бір нүктеде болатын болса, онда вектордың координаталары вектордың соңғы нүктесінің координатасына тең болады (20-сурет),

яғни .Вектордың

модулі

екі нүктенің

арақашықтығы мына формула бойынша

есептелінеді:

немесе

Мысалы: АВ-ның арақашықтығын табу, егер А(4, -2, 1) және В(1, 3, -3).

Шешуі: .

Если , то , рис.7.,

где - орты или базисы и - координаты вектора.

Теорема. Берілген базисте векторды жіктеу жалғыз болып табылады.

Бұл теоремадан және векторға қолданылатын сызықтық амалдың қасиетінен шығатын, яғни векторға қолданылатын сызықтық амалдар координатамен берілген арифметикалық амалдарға алмастырылады.

Егер вектор берілген болса, және , онда

1. ,

Анықтама. а векторының ұзындығы деп

санын айтамыз.

Вектордың бағыты бағыттаушы косинуспен беріледі.

Анықтама. а векторының бағыттаушы косинусы деп

сos а, сos , сos , где а = (а^,x), =(а^,y), =(а^,z) санын айтамыз.

Бұл сандар өзара тәуелді және белгілі бір қатынаста өрнектеледі, яғни проекциялау арқылы координата осінің О нүктесінен шығатын кесіндінің ұзындық бірлігін алуға болады. Бұдан мына формула бойынша:

1= сos + сos + сos .

олай болса, сos а = сos = сos = .

радиус –вектор

Осы алынған сандар радиус-векторының бағыттаушы косинустары деп аталады.

Мысалы-8: АВ векторының ұзындығын және бағытын тап, егер А(4, -2, 1) және В(1, 3, -3).

Шешімі: Координаталары , бұдан вектордың ұзындығы

Онда бағыттаушы косинустар:

Тексеру:

Вектордың скалярлық көбейтіндісі. Координатамен берілген екі вектордың арасындағы бұрыш. Екі вектордың ортогоналдық шарты.

Анықтама. a және b векторының скалярлық көбейтіндісі деп сол векторлардың ұзындықтары мен екеуінің арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады және оның белгіленуі:

Егер и :

=( )()= = .

Мысал-9: өрнегін есепте, егер .

Шешуі: .

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі және оның қасиеттері. Екі вектордың коллинеарлық шарты.

Анықтама. a және b векторлық көбейтіндісі деп үшінші с векторын айтамыз, белгіленуі с = a ´ b және мына ережелер бойынша анықталады:

( )´()= =

= .

Вектордың векторлық көбейтіндісі параллелограмм және үшбұрыш ауданын табу болып табылады.

Мысалы-10: Берілген төбелері бойынша үшбұрыштың ауданын тап: .

Шешуі: Үшбұрыш векторларымен салынған.

1) ;

2) .

Вектордың аралас көбейтіндісі және оның геометриялық мағынасы. Үш вектордың компланарлығы.

Анықтама. a, b және с үш вектордың аралас көбейтіндісі деп , түріндегі көбейтіндіні айтамыз, мұндағы алғашқы екі вектор векторлы көбейтіледі, ал олардың көбейтіндісі үшінші векторға скаляр көбейтіледі.

Олай болса, .

Аралас көбейтінді –скалярлық шама. Егер , онда аралас көбейтінді:

Үш вектордың компланарлық шарты:

Параллелепипед көлемі: V_{параллелепипеда}= .

Пирамида көлемі: V_{пирамиды}= .

Мысалы-11: Берілген төбелері бойынша пирамида көлемін тап: .

Шешуі: Бұдан, , бұдан

Лекция-2. Анықтауыштар және матрицалар. Сызықтық теңдеулер жүйесі (СТЖ). СТЖ-нің экономикада қолданылуы.

ІІ-ші, ІІІ-ші және п-ші ретті анықтауыштар және оның қасиеттері. Минорлар және алгебралық толықтауыштар. Анықтауышты жолдар және элементарлы түрлендіру әдісі бойынша есептеу.

Анықтама. Екінші ретті анықтауыш деп мына кесте түрінде

белгіленетін санды айтамыз.

Анықтауыштың жазылуы: «», мұндағы - анықтауыштың элементтері.

- негізгі диагоналдың элементтері деп аталады, ал - қосымша диагоналдың элементтері.

Анықтауыштың мәні мына формуламен есептелінеді:

(1.1).

Мысалы-1: Есепте:

. Шешуі: .

Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш деп мына кесте түрінде

белгіленетін санды айтамыз, анықтауыштың мәні мына формула бойынша есептелінеді.

а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₁₂а₂₃ а₃₁ + а₁₃ а₂₁ а₃₂ - а₁₃ а₂₂а₃₁ - а₁₁а₂₃а₃₂– а₁₂ а₂₁ а₃₃ (1.2).

Үшінші ретті анықтауышты есептеу үшін үшбұрыш ережесін пайдаланамыз:

(1.3).

Мысалы-2: Есепте:

. Шешуі: .

Анықтама: п -ші ретті анықтауыш деп мына төмендегі кесте түрінде белгіленетін санды айтамыз.

(1.4)

және анықтауыштың элементі берілген саны бойынша есептейміз: - қосынды мұндағы .

Анықтама. Үшінші ретті анықтауыштың a_ij элементінің миноры деп, осы элемент тұрған i-жол және j-бағанды алып тастағанда пайда болатын екінші ретті анықтауышты айтамыз. Анықтауыштың a_ij элементтің минорын M_ijарқылы белгілейміз. А матрицаның элеметері үшін де минор түсінігі жоғарыдағыдай беріледі.

Мысалы: