Односторонние пределы

Числовые множества: ограниченность, супремум, инфимум

1. Множество {x}, элементами которого являются числа, называется числовым множеством.

2. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M (m) такое, что   x £ M ( x ³ m).

Число M называется верхней гранью числового множества {x}. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества {x}.

Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m), есть также верхняя (нижняя) грань.

3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}).

4. Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).

Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

 Супремум sup{x} , .

Инфимум inf{x} , .

 Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.

Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.

 

Предел последовательности и предел функции

1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3,... }.

 Обратите внимание на два момента.

*В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

*Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

2. Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если

.

Подчеркнем, что N зависит от e.

 Варианты определения.

 Говорят, что , если .

 Говорят, что , если .

3. Число b называется предельным значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к a       ,

 

Односторонние пределы

1. Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x стремящимся к a, если

().

Обозначение  ().

Если, то существует . Верно и обратное утверждение.

 2. Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы существовал  необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn}, у которой  существовал

Свойства предельных значений.

Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

,

,

,

, если .