Методика построение единовременных нетто-ставок по страхованию на дожитие и на случай смерти

Тарифные ставки бывают единовременные и годичные.

Единовременная ставка предполагает уплату взноса в начале срока страхования. Экономическая сторона страховых операций основана на так называемом принципе нуля, который предполагает равенство финансовых обязательств страховщика и страхователя. При единовременном взносе страхователь сразу при заключении договора погашает все свои обязательства перед страховщиком и договор в дальнейшем действует без уплаты взносов.

Годичная ставка предполагает постепенное погашение финансовых обязательств страхователя перед страховщиком. Взносы уплачиваются раз в год. На практике для уплаты годичного взноса предоставляется еще и помесячная рассрочка.

В начале исчислим единовременные тарифные ставки, а затем годичные. Например, надо рассчитать нетто-ставку по дожитию по договору страхования для лица в возрасте 40 лет (х=40) на срок 5 лет (п=5) со страховой сумы 100000 руб. (S=100000).

По истечении 5 лет предстоит выплатить определенное количество страховых сумм. Сколько будет выплат? Из таблицы смертности видно, что до 45 лет доживет 90 096 человек. Значит, и выплат будет 90 096. Страховая сумма каждого договора 100000 руб. Следовательно, страховой фонд должен составить 9 009 600 000 руб. Однако в начале страхования этот фонд может быть меньше с учетом того, что каждый год на него будет нарастать 3 сложных процента годового дохода. Чтобы соответственно уменьшить этот фонд, то есть найти его современную стоимость, прибегнем к помощи дисконтирующего множителя, равного в этом случае 0,862 61. Отсюда современная стоимость равна 7 771 771 000 руб.(9 009 600 000*0.86261).

Следовательно, чтобы через 5 лет иметь средства для выплаты страховых сумм по дожитию, страховщик в начале страхования должен располагать фондом в размере 7 771 771 000 руб. Эту сумму и нужно единовременно собрать со страхователей. Разница между величиной сбора и выплат будет покрыта за счет 3%-ого дохода на собранные средства.

Сколько же должен внести в страховой фонд каждый страхователь? Для этого 7 771 771 000 руб надо разделить на 92 246 человек, вступивших в страхование, то есть на число лиц, доживающих по таблице смертности до начала страхования - в примере до 40 лет. Получим 84250 руб, а не 97670 руб, которые нужно было бы вносить, если не начислять 5% годового дохода.

Таким образом, единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте 40 лет сроком на 5 лет на 100000 руб составит 84250 руб.

Представим этот расчет в виде формулы, пользуясь указанными выше символами:

где _пЕ_х - единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования п лет,

l_п+х - число лиц, доживших до окончания срока страхования,

l_х -число лиц, заключивших договор в возрасте х лет,

V- дисконтирующий множитель

S - страховая сумма.

Чем моложе застрахованный, тем дороже ему обходится договор страхования на дожитие, так как тем больше число доживающих до окончания срока. Чем длиннее срок, тем ниже ставка, так как больше дохода от процентов.

Теперь исчислим единовременную нетто-ставку по страхованию при тех же условиях, обозначив ее символом ₅А₄₀. Число умирающих на каждом году страхования, взятое из таблицы смертности, умножаем на соответствующие дисконтирующие множители и делим на число лиц, вступивших в страхование:

₅А₄₀=(374*0.97087+399*0.94260+427*0.91514+458*0.88849+492*0.86261)*100/92246= 2130 руб

Таким образом, страховая сумма составляет 100000 руб, ее страховая стоимость равна 2130 руб. При выплате по случаю смерти застрахованного все недостающие средства перераспределяются из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, к ним добавляется доход от процентов.

Представим формулу в общем виде:

где _пА_х - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте х лет сроком на п лет.

d_x, d_x+1 ,..., d_x+п-1 - числа умирающих в течении срока страхования,

V - дисконтирующий множитель, S - страховая сумма.

Рассмотрим теперь принципы построения единовременных ставок по страхованию пенсии или ренты.

Страхование ренты - это вид личного страхования, по которому страховщик обязуется уплачивать застрахованному лицу в установленные сроки регулярный доход. Одной из самых распространенных разновидностей такого страхования является страхование пенсии.

Страхование ренты бывает пожизненным или временным, немедленным или отсроченным, в зависимости оттого, выплачивается регулярный доход сразу после уплаты взносов или по истечении обусловленного периода.

Для вывода соответствующих формул применим следующий ход рассуждений. Допустим, что страховая организация обязалась выплачивать застрахованному лицу в возрасту х лет в течении всей его жизни ежегодно определенную денежную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 100000 руб. Предположим далее, что договоры заключили все лица в возрасте х лет. Тогда первая выплата будет произведена всем лицам lх немедленно после заключения договора страхования и составит l_х руб.

Во втором году будет выплачено l_х+1 руб. С момента заключения договора современная стоимость выплаты равна l_x+1V руб.

Современная стоимость выплаты третьего года равна l_x+2V² руб, четвертого - l_x+3V³, пятого и так далее. Последняя выплата будет спустя w-х лет, где w - предельный возраст таблицы смертности. Современная стоимость последней выплаты l_wV^w-x руб.

Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем lx лицам, выразится суммой:

l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_wV^w-x.

Чтобы получить современную стоимость взаимных обязательств страховщика и страхователя по отношению к одному лицу, то есть найти единовременную нетто-ставку по страхованию пожизненной ренты - пренумерандо, то есть выплачиваемой застрахованному лицу в начале каждого страхового года, надо эту сумму поделить на число лиц, вступивших в страхование:

_wa_x=(l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_wV^w-x)/l_x

где _wa_x - единовременная нетто-ставка по страхованию пожизненной ренты (пенсии) - пренумерандо.

Если рента выплачивается не пожизненно, а в течении определенного числа лет в начале каждого страхового года (пренумерандо) формула приобретет вид:

_na_x=(l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_x+n-1V^n-1)/l_x

если же в конце страхового года (постнумерандо):

_na_x=(l_х+1V+...+ l_x+nVⁿ)/l_x

3.6. Методика перехода от единовременной к годичной нетто-ставке.

Ранее при расчетах нетто-ставки мы предполагали, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора страхования. Однако случаи единовременной оплаты страховых взносов практически встречаются редко. Большинству страхователей удобнее вносить платежи в течении всего срока страхования. Для этого исчисляются годичные нетто-ставки.

Уплачивая страховой взнос единовременно, страхователь расходует меньше денег, чем при уплате взносов в течении нескольких лет. Во-первых, при единовременной уплате большая денежная сумма поступает сразу в хозяйственный оборот и на нее нарастают проценты. При годичных же взносах часть дохода, получаемого за счет процентов, теряется и, следовательно, годичные ставки не могут быть заранее уменьшены на такую же величину, как единовременные. Во-вторых, при единовременном взносе все страхователи уплачивают свои взносы, при годичной же уплате по ряду договоров взносы не будут уплачены полностью, поскольку часть застрахованных умирает в течении срока страхования.

Следовательно, исчисляя размер годичной нетто-ставки, нельзя механически поделить единовременную ставку на число лет страхования. Нужно осуществить особый расчет с тем чтобы годичные ставки учитывали как потерю дохода на процентах, так и уменьшение числа застрахованных вследствии смертности.

Переход от единовременной нетто-ставки к годичной осуществляется посредством применения коэффициентов рассрочки.

Обычно условия страхования, предоставляют страхователю право помесячной уплаты взносов, ориентируются на возможность погашения полной суммы годичного взноса к концу страхового года. В ходе дальнейших рассуждений этот факт надо будет иметь ввиду.

Каким должен быть размер ежемесячного взноса? Представим, что все 40-летние лица (см. Таблицу смертности) обязались в конце каждого года страхования в течении 5 лет вносить страховой организации 10 000 руб. Тогда в конце первого года будет внесено 922 460 000 руб (l41*10 000 руб). Современная стоимость этой суммы равна l_х+1V, то есть 922 460 000 руб * 0,97087, современная стоимость взносов второго года - l_x+2V², третьего - l_x+3V³, п-го года - l_x+nVⁿ. Для каждого из вступивших в страхование сумма современных стоимостей годичных взносов составит:

(l_x+1V+...+l_x+nVⁿ)/l_x

Выше мы получили формулу для исчисления временной ренты - постнумерандо, которая послужит коэффициентом рассрочки:

_na_x=

Коэффициент рассрочки (рента - постнумерандо или пренумерандо) представляет собой стоимость взносов в размере 10 000 руб, производимых в течении определенного срока в конце или начале каждого страхового года.

В таблице 5 приведены коэффициенты рассрочки.

Таблица 5.

Срок уплаты, лет		Возраст, лет (х)
	20		30	40		50
5	4.55		4.54	4.51		4.45
10	8.45		8.41	8.30		8.06
15	11.77		11.67	11.43		10.91
20	14.59		14.41	13.96		13.07

Теперь рассчитаем годичные ставки.

Единовременная нетто-ставка, как было показано ранее, равна современной стоимости финансовых обязательств страховщика и страхователя. При единовременной оплате страхователь все свои финансовые обязательства выполняет в момент заключения договора. При годичных взносах он рассчитывается со страхователем постепенно. Очевидно, что общая сумма годичных взносов должна быть эквивалентна единовременному взносу. Однако она не равна ему в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, в течении срока страхования будет нарастать доход в виде процентов (i), во-вторых, часть страхователей не сможет полностью расплатиться вследствии смертности. Иначе говоря, единовременная нетто-ставка является современной стоимостью суммы годичных взносов, поскольку это рассроченные финансовые обязательства страхователя.

Мы установили, что современная стоимость годичного взноса в 10 000 руб представляет собой коэффициент рассрочки. Отсюда можно составить следующую пропорцию. Искомый годичный взнос так относится к 10 000 руб, как современная стоимость всех годичных взносов в размере 10 000 руб (коэффициенту рассрочки), или

_nP_x: 1=_nEd_x: _na_x

где _пР_х - годичный взнос

_пЕ_дх - единовременный взнос

_па_х - коэффициент рассрочки

Следовательно,

_nP_x=

то есть годичная нетто-ставка равна единовременной, деленной на коэффициент рассрочки, и наоборот, единовременная ставка равна годичной, умноженной на коэффициент рассрочки.

Абсолютные значения коэффициентов рассрочки близки к значению п - срока страхования, но несколько ниже его. В результате размеры годичных ставок получаются более высокими, чем если бы мы просто делили единовременную ставку на количество лет страхования. Таким путем возмещаются потери на процентах и учитывается постепенное уменьшение числа лиц, производивших взносы.

Применив коэффициент рассрочки, исчислим годичные ставки для лица в возрасте 40 лет, заключившего договор страхования на 5 лет на сумму 100 000 руб. Годичная нетто-ставка по дожитию равна 18680 руб (84250 руб: 4,51): на случай смерти - 470 руб. (2130 коп: 4,51).

Поделив единовременные нетто-ставки на коэффициент рассрочки через коммутационные числа, получим рабочие формулы для исчисления годичных нетто-ставок постнумерандо:

на дожитие _nP_x=

на случай смерти _nP_x=

из приведенных в таблице 6 примеров видна закономерность изменения размеров нетто-ставок под влиянием вступительного возраста застрахованного и срока страхования.

Таблица 6.

Вступительный возраст застрахованного, лет	Нетто-ставка по страхованию, руб
	на дожитие	на случай смерти
	Срок страхования 5 лет
20	18.76	0.16
30	18.73	0.25
40	18.68	0.47
50	18.42	0.99
60	18.00	2.03
Срок страхования 10 лет
20	8.64	0.18
30	8.59	0.29
40	8.45	0.56
50	8.16	1.20
60	7.59	2.45

Таким образом, чем моложе застрахованный, тем выше нетто-ставка на дожитие и тем ниже по страхованию на случай смерти. При этом размер ставок на дожитие в несколько раз превышает ставки на случай смерти. Однако эта разница по мере увеличения возраста уменьшается. Так, при 5-летнем сроке для 20-летнего лица нетто-ставка по дожитию равна 18760 руб, а по страхованию на случай смерти - лишь 160 руб. Для 60-летнего лица они соответственно равны 18000 руб. И 2030 руб.

Нетто-ставки по страхованию на дожитие и по страхованию на случай смерти в том виде, в каком мы их рассмотрели, входят как составные части в тарифы по смешанному страхованию жизни - наиболее распространенному виду долгосрочного страхования. В совокупной нетто-ставке на дожитие и на случай смерти преобладающий удельный вес имеет ставка по дожитию.

                                                                                          

 

 

Заключение

В качестве базисной информации в практике актуарных расчетов по оценке рисков используется страховая статистика. Она представляет собой систематизированное изучение и обобщение наиболее массовых и типичных страховых операций на основе выработанных статистической наукой методов обработки обобщенных итоговых натуральных и стоимостных показателей, характеризующих страховое дело. Все показатели, подлежащие статистическому изучению, делятся на две группы: первая отражает процесс формирования страхового фонда, вторая - его использование.

Статистическое наблюдение в страховом деле ведется по следующим основным признакам: время и место наступления ущерба, причина, страховое обеспечение, расходы на ликвидацию ущерба, страховая сумма и страховая стоимость, рисковая группа объекта страхования, распространяемость ущерба на другие объекты, результаты проведения предупредительных мероприятий. На основании этих данных могут быть вычислены относительные цифры каждого признака, составлены специальные таблицы или электронные базы данных. Обработка статистических данных ведется с помощью ЭВМ.

Анализ полученного массива информации показывает закономерность наступления страхового случая и служит целям научного предвидения будущего размера ущерба. Чем больше число объектов наблюдения, тем более достоверную основу для оценки будущего развития событий представляет установленная вероятность, так как только в большой совокупности закон больших чисел может наиболее точно проявить свое действие.

При анализе страховая статистика должна быть обработана с учетом инфляции страховых возмещении. Обычно, чтобы получить более правдоподобную картину потенциальных будущих убытков, прошлые убытки необходимо существенно увеличить. Однако, чем существеннее это увеличение для старых страховых случаев, тем более недостоверными становятся исправленные статистические данные. Серьезные сомнения по поводу использования старых страховых возмещении имеются не только по причине инфляции, но и потому, что общая рисковая ситуация, как, например, в страховании ответственности владельцев автотранспорта, радикально меняется.

Как следствие, страхователи при анализе предпочитают брать только недавние страховые случаи, что ведет к новым трудностям, поскольку новейшие статистические данные не только менее содержательны из-за меньшего числа учитываемых при этом страховых возмещении, но и, что еще хуже и серьезней, часто проходит много лет, прежде чем страховые случаи улаживаются и становится известной окончательная стоимость страховых возмещении. Это так называемое явление запаздывающего возмещения вынуждает также корректировать исходные статистические данные.

Таким образом, перед актуарием стоит дилемма: если он учтет данные слишком многих прошлых лет, надежность статистики пострадает из-за включения в нее и последующего увеличения старых нерепрезентативных убытков; если же он возьмет данные слишком свежие, надежность опять пострадает из-за уменьшения количества страховых случаев и сомнительной коррекции страховых возмещении по незавершенным страховым случаям.

Список Литературы

 

1.  В.Г. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика»

2. Т.А. Федорова «Основы страховой деятельности».

3. Четыркин А.П «Финансовая математика».

4. В.В. Ковалев «Курс финансовых вычислений»

5. Елисеева П.Р. «Общая теория статистики»

6. К. РэдхЭд «Управление финансовыми рсками.»