Пример 1.1. Решение задачи 1, комментарий и оценка этого решения.
Комментарий.
В предложенном решении реализованы все геометрические конфигурации.
Получен верный ответ.
Формально, нет описания точки L и она не указана на первом рисунке. Но зато – указана на втором рисунке.
Решение оценивается максимальным баллом.
Оценка эксперта: 3 балла.
Пример 1.2. Решение задачи 1, комментарий и оценка этого решения.
Комментарий.
В решении рассмотрены все возможные геометрические конфигурации.
Правильно найден радиус одной окружности, а радиус второй находится из неверного предположения: радиус второй окружности в 5 раз больше радиуса первой. Ясно, что тут нельзя поставить 3 балла, как нельзя и поставить 0 баллов.
Конечно, предположение о пятикратном увеличении радиуса удивительно несуразно и, честно говоря, безумно. Из неких общих соображений и привычек, следовало бы за это при проверке серьезно «наказать» автора, т.е. поставить 1 балл.
Однако, по приведенным критериям это решение следует оценить в 2 балла. По мнению разработчиков КИМ ЕГЭ-2010, в первую очередь, оцениваются успехи и положительные результаты выпускника, а при дальнейших ошибках возможна «амнистия».
|
|
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 1.3. Решение задачи 1, комментарий и оценка этого решения.
Комментарий.
Сложный случай. Рассмотрены и верно описаны все геометрические конфигурации. Для каждой из них верно найдены необходимые тригонометрические величины.
Но, оба раза – одна и та же ошибка в вычислении радиуса, а именно, в теореме синусов «забыта» сторона, на которую опирается вписанный угол. Оба радиуса найдены в итоге неверно и поэтому 2 балла по приведенным критериям выставить невозможно. Более того, если абсолютно строго придерживаться критериев, то поставить и 1 балл нельзя: ученик сделал, формально, не арифметическую ошибку.
Однако, оценить это решение в 0 баллов недопустимо: ведь автор для обеих конфигураций практически верно разобрал все геометрические детали и (дважды) ошибся лишь в заключительном шаге.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 1.4. Решение задачи 1, комментарий и оценка этого решения.
Комментарий.
В решении рассмотрена только одна из двух геометрических конфигураций. Для случая внешнего касания окружностей задача решена верно.
Авторское указание двух случаев относится к двум способам решения задачи для одного и того же способа расположения окружностей.
Оценка эксперта: 2 балла.
Рассмотрим еще одну планиметрическую задачу уровня сложности С4 и примеры оценивания ее выполнения.
Задача 2. В параллелограмме известны стороны , и угол . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников и .
|
|
Решение №1.
Треугольники расположены в разных полуплоскостях относительно прямой . Поэтому также по разные стороны от нее расположены и центры и описанных около них окружностей, лежащие на серединном перпендикуляре к их общей стороне , следовательно, , где — середина .
Возможны три случая:
1. ,
тогда (теорема о вписанном угле),
2. ,
тогда (теорема о вписанном угле),
3. , тогда точки и совпадают.
Во всех рассмотренных случаях имеем
.
Найдем :
а) (теорема косинусов для ),
б) ,
в) .
Ответ: .
Решение №2.
Треугольники и симметричны относительно точки – середины . Поэтому при любом расположении центров и окружностей (; см. рисунки) искомое расстояние в два раза больше, чем расстояние от точки до , т.е. .
Из прямоугольного треугольника : .
, а находим из теоремы косинусов, применённой к треугольнику : .
– радиус окружности, который находим по теореме синусов, применённой к треугольнику : .
В итоге, .
Ответ: .
Комментарий.
Эта задача — по планиметрии. В ней требуется найти расстояние между некоторыми точками в заданной геометрической фигуре.
Задача не очень проста по следующим причинам:
· для вычисления искомого расстояния используются некоторые хотя и стандартные, но не слишком часто употребляемые в задачах факты, такие как местонахождение центра описанной окружности, соотношение между вписанным и центральным углами, еорема синусов (для нахождения радиусов окружности);
· условие задачи, ввиду недостаточной определенности данного в ней угла, не совсем однозначно задает расположение центров, между которыми ищется расстояние, — они могут лежать как внутри соответствующих треугольников, так и снаружи, или даже на их границе, от чего могут зависеть (см. решение №1) рассуждения, необходимые для решения задачи;
· возможно решение (см. решение №2), в котором различные конфигурации аналитически описываются одинаково: расстояние между центрами в два раза больше, чем расстояние от одного из них до диагонали, относительно которой центры симметричны, а расстояние до диагонали ищется из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу, и катетом, равным половине диагонали, – такая аналитика автоматически даёт модуль котангенса.
При любом подходе к решению этой задачи от выпускника требуется понимание реализуемости различных геометрических конфигураций и умение вычислять стандартные элементы в заданном треугольнике.
Отметим, что в обоих решениях имеется доказательство равенства (в решении №1 – несколько менее обоснованное). Однако, для учащихся при выполнении заданий С4 на ЕГЭ считается допустимым предъявление этого равенства и без подробных обоснований.
Критерии оценивания остаются такими же, как и в задаче 1.