Матричное описание распространения луча в линзе

В параксиальном приближении (рис. 1)закон преломления  для первой преломляющей поверхности линзы можно представить в виде:

или  (1), где

В этом случае для задания хода луча PM ₁M ₂ используются приосевые углы

(-u, u') и расстояние до луча (y), отсчитанное от оптической оси X.

Рис.1

Выражение (1) можно представить в матричном виде (2)

 (2),

где  - оптическая сила первой преломляющей поверхности;

 называется преломляющей матрицей первой поверхности.

Преломленный луч пересекает вторую поверхность на расстоянии  

(3),

здесь y₁'=y₁, n₁' = n_1,    u₁' = u₂ ,  (n₂, u₂, y₂) - параметры, связанные с лучом в точке M ₂ второй поверхности до преломления. В параксиальном приближении D» H₁H₂  - толщина линзы. Ход луча в линзе можно представить в матричном виде (4):

(4)

Двухрядная матрица  - называется передаточной матрицей. Она описывает распространение луча от первой преломляющей поверхности до второй внутри линзы. Преломление луча на второй сферической поверхности описывается аналогично с помощью преломляющей матрицы второй поверхности: , где  - оптическая сила второй преломляющей поверхности, а y₂ =y₂' Окончательно, связь между характеристиками луча на входе в линзу и на выходе из нее можно представить в виде:

(5)

Распространение луча справа от линзы можно описать передаточной матрицей T_{32 ,} которая строится аналогично матрице T₂₁ с той лишь разницей, что вместо D следует подставить расстояние D₂, отсчитанное от вершины H₂ второй преломляющей поверхности до точки оси Х, в плоскости которой определяются параметры луча [2, 3]. Если луч на своем пути встречает другую линзу, то D₂ = d - расстоянию между линзами.

Преломление на поверхностях второй линзы описывается с помощью преломляющих матриц этих поверхностей. Таким образом, расчет распространения луча через оптическую систему сводится к перемножению преломляющих и передаточных матриц. В выражении (5) произведение преломляющих и передаточной матриц S₂₁ =R₂ T₂₁R₁ представляет собой также двумерную матрицу:

,

которая называется матрицей оптической системы. Величины a,b,c.d – называются постоянными Гаусса. Из перемножения матриц следует, что

(6)

Для оптической системы, находящейся в воздухе, n₁ =n₂' =1. Из сравнения выражений (6) настоящего параграфа и формул (1-6) предыдущего параграфа можно увидеть, что параметр a – оптическая сила оптической системы, параметры b, c – определяют положение главных и фокальных плоскостей:

(7)

Представление характеристик оптических систем в матричной форме делает удобным использование для их расчета персональных компьютеров со стандартным программным обеспечением.