Лабораторная работа №6

Тема: "Методы обработки экспериментальных данных".

Цель: научиться определять зависимости между значениями переменных с заданной степенью значимости (погрешностью) посредством подбора приближающей функции из числа стандартных.

Подбор приближающей функции осуществить с помощью метода наименьших квадратов.

В результате выполнения лабораторной работы студент должен

ЗНАТЬ:

- основные понятия алгебры и начала анализа (аналитическое представление и графическую интерпретацию основных функций);

- элементы дифференциального анализа (исследование функции с помощью производной).

УМЕТЬ:

- определять приближающую функцию из числа наиболее известных для функции, заданной таблично;

- применять метод наименьших квадратов для определения приближающей функции;

- проводить реализацию метода на ЭВМ и определять степень погрешности приближения.

ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:

- о свойствах нелинейных функций, применяющихся для приближения;

- о геометрической интерпретации метода наименьших квадратов.

 

Постановка задачи

Пусть в результате измерений (или эмпирических наблюдений) получена таблица некоторой зависимости f:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически.

 Применение метода интерполяции возможно, но требование обязательного совпадения значений в узловых точках не оправдано, если значения функции f(x) получены в результате измерений и являются случайными.

Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции: найти функцию заданного вида:

         y = F(x)                                                       (1)

которая в точках x₁, x₂, …, x_n принимает значения как можно более близкие к табличным значениям y₁, y₂, …, y_n. Практически вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице строится точечный график функции f, а затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек.

По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций).

Следует заметить, что строгая функциональная зависимость для экспериментально полученной таблицы наблюдается редко. Однако, формула (1) (ее называют эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x) интересна тем, что позволяет находить значения функции f для нетабличных значений x, "сглаживая" результаты измерений величины y.

Рассмотрим один из распространенных способов нахождения формулы (1). Предположим, что приближающая функция F(x) в точках x₁, x₂, …, x_n имеет значения

y'₁, y'₂, …, y'_n                                                 (2).

Требование близости табличных значений y₁, y₂, …, y_n и значений (2) можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений функции f из таблицы (1) и совокупность (2) как координаты двух точек n – мерного пространства. С учетом этого задача приближения функции может быть переформулирована так: найти такую функцию F заданного вида, чтобы расстояние между точками М (y₁, y₂, …, y_n) и М' (y'₁, y'₂, …, y'_n) было наименьшим. По метрике евклидова пространства это требование имеет вид:

      (3)

Итак, задача приближения функции f теперь формулируется так: для функции f, заданной таблицей (1), найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов (3) была наименьшей.

Эта задача носит название приближения функции методом наименьших квадратов.

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:

 

 

 

Здесь a, b, c, m – параметры. Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции с тремя параметрами:

Y = F(x, a, b, c)                     (4)

Итак, имеем: F(x_i, a, b, c) = y_i, (i=1,2, …, n). Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций f и F будет иметь вид:

Эта сумма является функцией Ф(a, b, c) трех переменных (параметров a, b, c). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b, c, мы получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c).

Естественно, что значения найденной функции F(x, a, b, c) в точках x₁, x₂, …, x_n будут отличаться от табличных значений y₁, y₂, …, y_n. Значения разностей

           (5)

называются отклонениями (или уклонениями) измеренных значений y от вычисленных по формуле (4). Для найденной эмпирической формулы (4) в соответствии с исходной таблицей можно, следовательно, найти сумму квадратов отклонений

                   (6)

которая, в соответствии с принципом наименьших квадратов для данного вида приближающей функции (и найденных значений параметров a, b, c) должна быть наименьшей.