2020-04-12
124
Пусть приближающая функция находится в виде: 
. Имеем: 
, так что задача сводится к случаю, рассмотренному в предыдущем пункте. Действительно, если в исходной таблице заменить значения x и y их обратными величинми по формулам 
и искать для новой таблицы приближающую функцию вида u = bz + a, то найденные значения a и b будут искомыми для формулы.
Пример. Построить приближающую функцию методом наименьших квадратов для зависимости, заданной таблицей:
| x | 1,1 | 1,7 | 2,4 | 3,0 | 3,7 | 4,5 | 5,1 | 5,8 |
| y | 0,3 | 0,6 | 1,1 | 1,7 | 2,3 | 3,0 | 3,8 | 4,6 |
Для сравнения качества приближений рассмотрим параллельно два способа приближения заданной функции: в виде прямой y = ax+b и в виде степенной функции y = cxm. После нахождения значений параметров a, b, c, m можно найти суммы квадратов уклонений и установить, какое из двух приближений лучше.
Для вычисления коэффициентов системы составим вспомогательную таблицу:
| x | y | xy | x2 |
| 1,1 | 0,3 | 0,33 | 1,21 |
| 1,7 | 0,6 | 1,02 | 2,89 |
| 2,4 | 1,1 | 2,64 | 5,76 |
| 3,0 | 1,7 | 5,10 | 9,00 |
| 3,7 | 2,3 | 8,51 | 13,69 |
| 4,5 | 3,0 | 13,50 | 20,25 |
| 5,1 | 3,8 | 19,38 | 26,01 |
| 5,8 | 4,6 | 26,68 | 33,64 |
| 27,3 | 17,4 | 77,16 | 112,45 |
Разделив полученные суммы на число элементов в столбцах, имеем в соответствии с формулами:
|
|
|
Mx = 3,412 My = 2,175
Mxy = 9,645 Mx2 = 14,056
Составим теперь систему вида:
14,056 a + 3,412 b = 9,645
3,412 a + b = 2,175
Решив систему, получаем: a = 0,921, b=-0,968. Отсюда следует, что приближающая функция y = F(x, a, b) имеет вид: y=0,921x – 0,968.
Для нахождения параметров c и m степенной функции, как следует из пункта 3.1., по исходной таблице составляется новая таблица – из логарифмов значений x и y. Обозначим значения новых переменных соответственно u и z, т.е. u = ln x, z = ln y. По числовым данным из новой таблицы составляется система уравнений вида:
| u | z | uz | u2 |
| 0,095 | -1,204 | -0,114 | 0,009 |
| 0,531 | -0,511 | -0,271 | 0,282 |
| 0,875 | 0,095 | 0,083 | 0,766 |
| 1,099 | 0,531 | 0,584 | 1,208 |
| 1,308 | 0,833 | 1,090 | 1,711 |
| 1,504 | 1,099 | 1,653 | 2,262 |
| 1,629 | 1,335 | 2,175 | 2,654 |
| 1,758 | 1,526 | 2,683 | 3,091 |
| 8,799 | 3,704 | 7,883 | 11,983 |
Mu2A + MuB = Muz
MuA + B = Mz
Коэффициенты которой – числа, вычисляемые по данным из новой таблицы, а неизвестные А и В связаны с параметрами c и m соотношениями:
A = m, B = ln c.
Получаем:
Mu =1,1; Mz =0,463; Muz =0,985; Mu2=1,498.
Составляем систему вида:
1,498A + 1,1B = 0,985
1,1A + B = 0,463
Ее решение: А = 1,656 и В = -1,359.
Находим исходные значения параметров c и m: c = 1,656; c = e(-1,359) = 0,257. Следовательно, приближающая функция в виде степенной имеет вид: y = 0,257x1,656.
Для сравнения качества приближений вычислим суммы квадратов уклонений:
| x | y | 0,921x-0,968 | ε1 | ε 21 | 0,257x1,656 | ε2 | ε 22 |
| 1,1 | 0,3 | 0,0451 | 0,2459 | 0,0650 | 0,3009 | -0,0009 | 0,0000 |
| 1,7 | 0,6 | 0,5977 | 0,0023 | 0,0000 | 0,6188 | -0,0188 | 0,0004 |
| 2,4 | 1,1 | 1,2424 | -0,1424 | 0,0203 | 1,0954 | 0,0046 | 0,0000 |
| 3,0 | 1,7 | 1,7950 | -0,0950 | 0,0090 | 1,5851 | 0,1149 | 0,0132 |
| 3,7 | 2,3 | 2,4397 | -0,1397 | 0,0195 | 2,2432 | 0,0568 | 0,0032 |
| 4,5 | 3,0 | 3,1765 | -0,1765 | 0,0312 | 3,1021 | -0,1021 | 0,0104 |
| 5,1 | 3,8 | 3,7291 | 0,0709 | 0,0050 | 3,8165 | -0,0165 | 0,0003 |
| 5,8 | 4,6 | 4,3738 | 0,2262 | 0,0512 | 4,7225 | -0,1225 | 0,0150 |
| 0,2012 | 0,0425 |
|
|
|
Как следует из таблицы, сумма квадратов уклонений для линейной функции σ = 0,2012, для степенной - σ = 0,0425. Сравнивая качество приближений, находим, что приближение в виде степенной функции в данном случае предпочтительнее.
Задание
По заданной таблице распределений определить наилучшее приближение (одной из стандартных функций) для каждой из таблиц (x1, y), (x2, y), (x3, y).
| 1 | y | 79,31 | 57,43 | 60,66 | 92,55 | 71,30 | 70,50 | 91,52 | 68,31 | 58,56 |
| x1 | 5,84 | 3,82 | 6,19 | 9,22 | 6,29 | 4,43 | 8,91 | 5,34 | 2,21 | |
| x2 | 6,04 | 6,33 | 4,86 | 5,91 | 5,58 | 6,15 | 6,13 | 4,65 | 5,49 | |
| x3 | 4,22 | 2,90 | 1,68 | 3,34 | 2,89 | 4,15 | 3,41 | 3,37 | 4,41 | |
| 2 | y | 82,16 | 61,02 | 44,56 | 82,52 | 99,17 | 70,24 | 63,23 | 66,48 | 48,35 |
| x1 | 0,12 | -3,48 | -4,45 | -6,19 | 1,81 | -3,81 | 0,84 | -2,08 | -1,28 | |
| x2 | 2,91 | 2,94 | 6,35 | 6,58 | 3,80 | 6,43 | 0,57 | 5,96 | 3,40 | |
| x3 | 6,43 | 6,10 | 2,55 | 7,33 | 6,72 | 4,86 | 5,64 | 3,87 | 3,27 | |
| 3 | y | 113,84 | 119,66 | 106,28 | 120,68 | 107,43 | 114,88 | 115,53 | 117,40 | 120,24 |
| x1 | 2,95 | 2,60 | 2,69 | 3,01 | 2,44 | 2,51 | 3,37 | 2,98 | 3,20 | |
| x2 | 6,06 | 7,20 | 5,62 | 7,01 | 5,73 | 6,98 | 6,06 | 6,52 | 6,90 | |
| x3 | 5,59 | 5,66 | 5,30 | 5,57 | 5,57 | 5,37 | 5,41 | 5,61 | 5,44 | |
| 4 | y | 65,72 | 58,05 | 60,05 | 55,79 | 50,83 | 47,69 | 44,49 | 59,74 | 56,81 |
| x1 | 5,59 | 5,66 | 5,30 | 5,57 | 5,57 | 5,37 | 5,41 | 5,61 | 5,44 | |
| x2 | 0,12 | -3,48 | -4,45 | -6,19 | 1,81 | -3,81 | 0,84 | -2,08 | -1,28 | |
| x3 | 4,22 | 2,90 | 1,68 | 3,34 | 2,89 | 4,15 | 3,41 | 3,37 | 4,41 | |
| 5 | y | 55,65 | 67,68 | 105,20 | 85,02 | 52,76 | 58,86 | 72,19 | 61,09 | 70,44 |
| x1 | 2,91 | 2,94 | 6,35 | 6,58 | 3,80 | 6,43 | 0,57 | 5,96 | 3,40 | |
| x2 | 6,43 | 6,10 | 2,55 | 7,33 | 6,72 | 4,86 | 5,64 | 3,87 | 3,27 | |
| x3 | 5,84 | 3,82 | 6,19 | 9,22 | 6,29 | 4,43 | 8,91 | 5,34 | 2,21 | |
| 6 | y | 22,81 | 28,42 | 24,95 | 26,96 | 8,78 | 36,55 | 15,77 | 22,89 | 27,99 |
| x1 | 2,91 | 2,94 | 6,35 | 6,58 | 3,80 | 6,43 | 0,57 | 5,96 | 3,40 | |
| x2 | 6,06 | 7,20 | 5,62 | 7,01 | 5,73 | 6,98 | 6,06 | 6,52 | 6,90 | |
| x3 | 4,22 | 2,90 | 1,68 | 3,34 | 2,89 | 4,15 | 3,41 | 3,37 | 4,41 | |
| 7 | y | 18,31 | 21,92 | 16,93 | -8,23 | 10,90 | 24,18 | 38,45 | 24,11 | 36,62 |
| x1 | 2,95 | 2,60 | 2,69 | 3,01 | 2,44 | 2,51 | 3,37 | 2,98 | 3,20 | |
| x2 | 6,06 | 7,20 | 5,62 | 7,01 | 5,73 | 6,98 | 6,06 | 6,52 | 6,90 | |
| x3 | 5,59 | 5,66 | 5,30 | 5,57 | 5,57 | 5,37 | 5,41 | 5,61 | 5,44 | |
| 8 | y | 80,93 | 109,10 | 87,80 | 83,95 | 70,99 | 87,36 | 84,71 | 96,63 | 59,70 |
| x1 | 2,95 | 2,60 | 2,69 | 3,01 | 2,44 | 2,51 | 3,37 | 2,98 | 3,20 | |
| x2 | 6,06 | 7,20 | 5,62 | 7,01 | 5,73 | 6,98 | 6,06 | 6,52 | 6,90 | |
| x3 | 5,59 | 5,66 | 5,30 | 5,57 | 5,57 | 5,37 | 5,41 | 5,61 | 5,44 | |
| 9 | y | -19,23 | -21,41 | -9,90 | -19,56 | -0,30 | -12,04 | 1,14 | 11,26 | -24,64 |
| x1 | 5,84 | 3,82 | 6,19 | 9,22 | 6,29 | 4,43 | 8,91 | 5,34 | 2,21 | |
| x2 | 2,91 | 2,94 | 6,35 | 6,58 | 3,80 | 6,43 | 0,57 | 5,96 | 3,40 | |
| x3 | 5,84 | 3,82 | 6,19 | 9,22 | 6,29 | 4,43 | 8,91 | 5,34 | 2,21 | |
| 10 | y | 18,93 | -22,13 | -10,07 | 20,59 | 7,09 | 4,40 | -20,78 | -12,98 | 3,69 |
| x1 | 2,95 | 2,60 | 2,69 | 3,01 | 2,44 | 2,51 | 3,37 | 2,98 | 3,20 | |
| x2 | 6,06 | 7,20 | 5,62 | 7,01 | 5,73 | 6,98 | 6,06 | 6,52 | 6,90 | |
| x3 | 5,59 | 5,66 | 5,30 | 5,57 | 5,57 | 5,37 | 5,41 | 5,61 | 5,44 | |
| 11 | y | 63,96 | 44,39 | 51,20 | 58,44 | 50,15 | 44,51 | 47,25 | 35,24 | 43,28 |
| x1 | 5,59 | 5,66 | 5,30 | 5,57 | 5,57 | 5,37 | 5,41 | 5,61 | 5,44 | |
| x2 | 0,12 | -3,48 | -4,45 | -6,19 | 1,81 | -3,81 | 0,84 | -2,08 | -1,28 | |
| x3 | 4,22 | 2,90 | 1,68 | 3,34 | 2,89 | 4,15 | 3,41 | 3,37 | 4,41 | |
| 12 | y | 11,13 | 3,49 | 8,91 | 14,83 | 1,80 | 13,50 | 3,70 | -2,40 | 10,00 |
| x1 | 2,95 | 2,60 | 2,69 | 3,01 | 2,44 | 2,51 | 3,37 | 2,98 | 3,20 | |
| x2 | 6,06 | 7,20 | 5,62 | 7,01 | 5,73 | 6,98 | 6,06 | 6,52 | 6,90 | |
| x3 | 5,59 | 5,66 | 5,30 | 5,57 | 5,57 | 5,37 | 5,41 | 5,61 | 5,44 |
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Гутер Р.С., Овчинский Б.В., Резниковский П.Т. Программирование и вычислительная математика. Москва, «Наука», 1965 г.
2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. Москва, «Просвещение», 1991 г.
3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. Москва, «Высшая школа», 1990 г.
Дополнительная:
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. Москва, «Лаборатория Базовых Знаний», 2002 г.
2. Бахвлов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях. Москва, «Высшая школа», 2000 г.
3. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). Москва, «Высшая школа», 2000 г.
4. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). Москва, «Высшая школа», 2001 г.
