Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений

Опред: Движением плоскости наз. каждое преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Или: это афинное преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.

В школе изучались параллельный перенос, осевая симметрия, поворот. Проверим, что каждое движение - это афинное преобразование.

1) параллельный перенос

Ψ-на (а₁,а₂)         

                           

рыс1

 

 

2) осевая симметрия.рыс2

           

                                  

                                                          

                                рыс2

 

 осевая симметрыя – афинное преобразование.

 

3) поварот (выбираем сист. коорд. спец. образ..)                                                                    

                                                                                                                                                                                                       

 

 

рыс3

 

Движение однозначно определяется своим действием на три пункта общего положения. Движения сохраняют не только расстояния, но и углы.

Опред. Движением плоскасти наз. афинное преобразование плоскасти, которое сохраняет расстояния  между  точками.

Классификация движений плоскости.

 Утв. 1: Каждое движение плоскости есть композиция параллельного переноса и движений с неподвижным пунктом = ₁◦ ₂, ₁-∥-ны перенос, _{2 –}  движение с неподвижной точкой.

Утв. 2: Каждое движение пл-ти с неподвижным пунктом ест или поворот пл-ти вокруг этого пункта, или осевая симметрия относительно прямой, проходящей через эту точку.

Утв. 3: Композиция параллельного переноса и нетривиального поворота есть поворот. Когда ₂ – поворот, то ₁◦ ₂ – поворот.

Сцв. 4: Композиция параллельного переноса и осевой симметрии есть или осевая симметрия или слизгаючая симметрия. Когда ₂ - осев. сим., то ₁◦ ₂ – или осев. сим. або слизгаючая.(слизгаючая симметрия-произведение нетривиального параллельного переноса и осевой симметрии относительно прямой параллельной направлению переноса)

Теорема Шаля: Каждое движение плоскости есть или параллельный перенос, либо поворот, или осевая симметрия, или слизгаючая симметрия

Использование. Задача: Построить правильный треугольник, одна вершина которого находится в даден. пункте А, вторая на данной прямой l, третья на данной окружности Ф. (поворот около п. А на 60˚ акр. против час. стрелки, когда прямую, то по час.стрелки).

Группа движений плоскости и ее подгруппа.

Опред: группой наз. пара (G;0), которая состоит из мн-ва G и бинарной алгебраической операцыи  и удовлетворяет условиям:

1. ассацыативность (a◦b)◦ c=a◦ (b◦ c);

2. нейтрал. элемент e, такой ччто "a G выполняется равенство: a◦e=e◦a=a.

3. "a G сущ. симетр. элемент а' такой, что а◦а'=а'◦а= e.

Данное мн-во R и операция сложения образуют. группу.

Тэорема 1: Множество всех преобразований пл-ти образует группу.

Пускай мн-во  (N – падмн. мн-ва G). Когда мн-во N явл. тоже группой относительно композ. преобраз. пл-ти, то N наз.падгр. группы G.

Теорема 2: Мн-ва N с заданой аперац. кампазиции преобразования явл. подгрупой группы (G;0), когда: 1. "а, b  N, b◦ а N; 2. "a  N а^-1 N

 Подгруппы группы движений: группа ∥ -ных переносов, группа поворотаа около данной точки. Мно-ва осевых симетрий пл-ти подгруппы не образуют.