Определение производной

Значение функции в каждой допустимой фиксированной точке есть число. Изменяя значения аргумента, получим, в общем случае, различные значения функции. Как сильно изменится значение функции при данном изменении аргумента? Поиск ответа на этот вопрос приводит к понятию производной.

Пусть задана некоторая функция y = f(x). Выберем произвольное допустимое значение аргумента х  и вычислим f(х). Затем, не выходя из области определения, изменим х  на малую величину D х. Вычислим f(х + D x) и образуем отношение

                                                                                 (8)

Если существует конечный предел

то функция f(x) называется дифференцируемой в точке  х, а значение предела называется производной от функции    f(x) в точке х и обозначается

                                                   (9)

Значение производной зависит от выбранного значения точки х. Следовательно, производная - это функция от того же аргумента, что и f(x). Операцию вычисления производной называется дифференцированием функции.

.

Рассмотрим геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f(x), то величина отношения (8) равна тангенсу угла наклона секущей графика к его оси абсцисс (см. рис. 2)

Если Dх ® 0, то точка N стремится к точке M и секущая MN стремится занять положение касательной к f(x) в точке M. Следовательно, значение производной f¢(x) в любой точке х области определения функции равно тангенсу наклона касательной к графику y = f(x) в точке с координатами х и f(x) к оси абсцисс.

Геометрический смысл производной позволяет пояснить важную формулу конечных приращений

f(b) - f(a) = f ¢(c)(b -a).                                                                                    (10)

Действительно (см. рис. 3), на отрезке [a,b] всегда найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей MN. В этом случае из построения следует формула (10), позволяющая выразить приращение функции через приращение аргументов и производную.