Дифференцирование сложных функций

Пусть функция z=ƒ(x,y), дифференцируема в точке A(xo,yo), а функции x=X(t) и y=Y(t) - дифференцируемы по независимой переменной t, тогда z=ƒ[X(t),Y(t)] – сложная функция, в конечном счете, зависящая только от переменной t. Производная по аргументу t вычисляется по формуле:

dz/dt = ∂z/∂x ∙ dx/dt + ∂ z/∂y ∙ dy/dt (2.1)

В формулу входят как полные, так и частные производные.

Пример: найти dz/dt, если z=x²+y²+x∙y, где x=sin t, y= tg t.

Найдем первые частные производные от функции z=ƒ(x,y): ∂z/∂x = 2x+y, ∂z/∂y=2y+x; найдем производные по попеременной t: dx/dt= cos t, dy/dt=1 /(cos t)²=sec² t; тогда по формуле (2.1)

dz/dt = (2x+y)∙cos t + (2y+x)∙sec²t=(2sin t+tg t)∙cos t +(2tg t+sin t)∙sec²t

Пример: найти dz/dt, если z=arcsin(x-y), x=3t, y=4t³

Найдём первые частные производные от функции z= ƒ (x,y):

= ; =

Найдём производные от функций x=X(t) и y=Y(t) по переменной t

Для окончательного решения примера воспользуемся формулой (2.1):

Если функция z= ƒ (x,y), а её аргументы сами являются функциями 2-х переменных, т.е.

x=X(u,v); y=Y(u,v), то тогда функция z=ƒ[X(u,v), Y(u,v)] - сложная функция переменных u и v.

Тогда:
(2.2)

Пример: найти и , если z=x²y-y²x, где x=u cos v, y=u sin v.

Пример: найти ∂z/∂u и ∂z/∂v, если z=x²∙lny, где

Найдем частные производные и воспользуемся формулой (2.2):

Если функция z= ƒ(x,y), а y=φ(x), то z= ƒ[x,φ(x)], т.е. z является сложной функцией одного аргумента x, поэтому будет существовать производная dz/dx, а т.к. z= f(x,y), то существуют частные производные ,