А) Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Если D прямоугольник, то при вычислении двойного интеграла, при a≤x≤b, c≤y≤d имеет место формула (рис. 3.1):
,
которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.
Рис 3.1
Б) Если функция f(x,y) непрерывна на множестве (рис.3.2)
D=
Где (x) и – непрерывны на отрезке и (x) (x) на , то
= (3.1)
Рис 3.2 Рис.3.3
Правая часть в (3.1) называется повторным интегралом, то есть результатом последовательного вычисления сначала интеграла по y при фиксированном x, а затем интеграла по x от получившейся функции.
В) Если функция f(x,y) непрерывна в области D (рис.3.3)
D= D= {(c≤y≤d, x1(y) ≤x≤ x2(y)}
Где функции и непрерывны на сегменте ) на [c,d], то верно равенство:
= (3.2)
Г) Если область D такова, что к ней применима и формула (3.1), и формула (3.2), то верно равенство:
(3.3)
Это равенство используется для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле. Области более сложного вида следует разбить на части, к которым применимы формулы (3.1) или (3.2).
|
|
Следует обратить внимание на то, что если y внешнего интеграла пределы интегрирования всегда константы, то у внутреннего – функции внешней переменной.
Пример: изменить порядок интегрирования в интеграле
В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и заданы пределы по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения х при фиксированном y. Поэтому область интегрирования для первого интеграла при -1≤y≤0 находится между дугами параболы y = x²- 1, лежащими ниже оси Оx. Область интегрирования во втором интеграле при 0≤y≤3 ограничена кривыми
x=- и x=2 , которые представляют собой дугу параболы и дугу окружности , лежащие выше оси Ox.
Пусть D=
Рис. 3.4 Рис.3.5
При перемене порядка интегрирования область D можно представить полностью находящейся в вертикальной полосе при -1 ≤ x≤ 2. Сверху область интегрирования ограничена дугой окружности (верхний предел).
Снизу область интегрирования ограничена дугой параболы (нижний предел). Тогда двойной интеграл можно записать так:
Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.
Пример: вычислить интеграл , где область D ограничена линиями:
|
|
и y=0 (рис. 3. 5)
При каждом фиксированном значении y, значение x меняется от до x=(2-y)e. Как видно из рис.3.5, наиболее удобный порядок
интегрирования
Вычислим внутренний интеграл
Интегрируя теперь функцию по y в пределах от y=0 до y=1, получим
При вычислении интеграла
Используем формулу интегрирования«по частям»
Итак, окончательно интеграл I=2ln2 – 0,5
Пример: изменить порядок интегрирования
В соответствии с представленными интегралами видим, что области расположены в вертикальных полосках при 3 и при . Причем область ограничена снизу гиперболой , а сверху прямой у = 3. Область также ограничена снизу той же гиперболой , а сверху – прямой у = 10 – х.
Точки: А (3; 3)
Рис.3.6 B (7; 3), С(9,1)
Как видно из рис. 3.6 вся суммарная область D находится в горизонтальной полосе, поэтому целесообразно записать двойной интеграл в соответствии с формулой (3.2). Пределы интегрирования по у от 1 до 3, левая граница – гипербола , правая граница – прямая ВС: x = 10 – y, т.е.
I =
Пример: вычислить двойной интеграл
I = f (x, y) = 3x-2; а область D ограничена прямыми
х=0, х + у =3, у= 2х
Рис.3.7
Строим область интегрирования: x=0 – ось Оy, y=2x – прямая.
Угловые точки области: О (0; 0), A (0, 3), B (1,2)
D
Вся область D находится в вертикальной полосе, т.е. целесообразно записать интеграл, согласно формуле (3.1).
Поэтому двойной интеграл запишется через повторный так:
I=