Кинематические диаграммы – изучить самостоятельно

 

Наглядное представление о законе движения интересующего нас звена или точки механизма дают так называемые кинематические диаграммы, т. е. зависимости пути скорости и ускорения от времени ­s = f (t), v = f (t), а = f (t), построенные графически. Эти диаграм­мы могут быть построены после кинематического исследования механизма для ряда достаточно близких положе­ний механизма, соответствую­щих одному кинематическому циклу, т. е. одному обороту ведущего звена.

Рассмотрим построение диаграммы s = f (t) для пол­зуна (точки В) кривошипно-­ползунного механизма (рис. 2.21,а).

Рис. 2.21. К построению кинематических диаграмм для ползуна кривошипно-ползунного механизма

Строим 12 положений механизма, соответствующих 12 равноотстоящим положениям кривошипа ОА, и отмечаем 12 положений точки В (можно строить и больше положений, например 24). Проводим оси координат s и φ (рис. 2.21,б). На оси φ откладываем 12 рав­новеликих отрезков 0-1, 1-2, 2-3 и т. д., соответству­ющих углу поворота криво­шипа на 1/12 часть оборота (30˚). Через точки 1, 2, 3 и т. д. про­водим ординаты и откладываем на них отрезки 1-1', 2-2', 3-3' и т. д., равные координатам точки В – sB в соответствующих положениях, отсчитываемых от правого крайнего положения точки В.

Соединяя точки 0, 1', 2', 3';..., 12 плавной кривой, получим диаг­рамму sB = f(φ).

 

При равномерном вращении кривошипа угол его поворота φ пропорционален времени. Поэтому полученная диаграмма sB = f (φ) является одновременно диаграммой зависимости перемещения ползуна от времени sB = f(t). Разница будет лишь в масштабах по

оси абсцисс..

Масштаб пути μs равен масштабу планов механизма μt, так как отрезки, изображающие путь, перенесены на диаграмму без изме­нения размеров. Масштаб углов φ диаграммы sB = f(φ) равен

        

 

 

 

где - отрезок (мм) по оси φ, изображающий полный обо­рот кривошипа (2π).

       Масштаб времени t диаграммы sB = f(t) равен

 

           

 

      

где T- период одного оборота кривошипа, который легко опреде­ляется по формуле

 

 

 или ,

 

 

где n – число оборотов кривошипа в минуту.

 Построение кривых vB=f(t) и aB =f(t) можно производить двумя способами: по планам скоростей и ускорений и способом графического дифференцирования.

 

       Графическое дифференцирование

                                              

Известно, что скорость является производной пути по времени

 

.

 

       Поэтому. если задана диаграмма пути s = f(t), то методом гра­фического дифференцирования можно определить cкорость в любом положении.

На рис. 2.23 представлена диаграмма пути s = f (t). Определим скорость v в положении 1:

 

                     

 

      

где dy.- элементарный отрезок (мм), изображающий в масштабе μs элементарное перемещение ds;

dx - элементарный отрезок (мм).   изображающий в масштабе μt элементарное время dt

 

 

 

Отношение , как это известно из математики, есть тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Обозначив этот угол че­рез , получим

 

 

Тогда

 

Таким образом, скорость в рассматриваемый момент времени пропорциональна тангенсу угла между касательной к кривой s - f(t) в соответствующей точке и осью t.

Формула 2.19 является основной формулой при графическом дифференцировании.

Имеется несколько методов графического дифференцирования. Рассмотрим два из них: метол касательных и метод хорд.

 

Метод хорд

Метод хорд заключается в следующем. Разбиваем кривую на ряд участков (участки могут быть неравными) и заменяем на этих участ­ках кривые хордами (рис. 2. 25,а), т. е. неравномерное движение на каждом участке приближенно заменяем движением равномерным с постоянной скоростью, равной действительной средней скорости

на данном участке.         ­

На оси t будущей диаграммы v = f(t) влево от начала координат на произвольном расстоянии Н выбираем точку О' (рис. 2.25,6). Из этой точки проводим лучи О'-1", О'-2",О'-3" и т. д., параллельные соответствующим хордам О-1', 1' -2', 2'-3' и т. д. Эти лучи отсекают на оси v отрезки О-1”, О-2', О-3" и т. д., пропорциональные средним скоростям на соответствующих участках. Откладывая равные этим отрезкам ординаты zi на соот­ветствующих участках, получим ступенчатую линию 1"1"'2"'2"'3"'3'" и т. д. графика скорости. Истинный график скорости легко полу­чить, проведя плавную кривую через уступы ступенчатого гра­фика таким образом, чтобы площади заштрихованных площадок, расположенных с обеих сторон кривой на каждом участке, были одинаковы.

.

Рис. 2.25. Графическое дифференцирование по методу хорд.

 

 

При проведений кривой v = f(t) с достаточной для практики точностью можно принять, что она проходит через середины усту­пов 1"-1"', 2"'-2''', 3'''-3'" и т. д. Это облегчает построение кривой. Следует отметить, что при проведении хорд на графике s = f(t) нужно, чтобы эти хорды были доста­точно близки к кривой. Если этого не получается, то участок следует разбить на более мелкие части. На­пример, на участке 1-2 (рис. 2.26) хорда аb далека от кривой, поэтому участок нужно разбить на два меньших участка­ (1-1' и, 1'-2) и на

них к кривой провести две новые хорды ac и cb

 

Определим масштаб скорости

 

 

откуда масштаб равен

 

 

 т. е. он определяется точно по такой же формуле, как и при диффе­ренцировании по методу касательных.