2020-04-20
132
Замечания.
1). Если 
2). Если в задаче требуется найти тангенс угла, то можно найти косинус угла, затем синус угла (по основному тождеству) и вычисляем тангенс.
1. 
Что бы найти угол между прямыми АВ и РК, надо выбрать направляющие вектора 
и 
, задать их координаты по формуле
найти угол между векторами и по формуле
Угол между прямыми всегда острый и косинус угла между ними всегда положительный. Поэтому косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между векторами
= 
2.Нахождение угла между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Нормаль – это вектор перпендикулярный к данной плоскости - 
.
Что бы найти угол между прямой АВ и плоскостью 
, надо задать направляющий вектор 
и вектор 
, перпендикулярный к плоскости 
BH – перпендикуляр к плоскости 
,
АВ – наклонная, АH – проекция АВ на плоскость ,
угол между прямой АВ и плоскостью
|
|
|
угол между прямой АВ и перпендикуляром BH
Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором и нормалью к плоскости.
Пусть и 
Находим 
будет равен модулю этого выражения (без знака минус)
3. Нахождение угла между плоскостями.
Чтобы найти угол между плоскостями при помощи метода координат, надо найти угол между двумя нормалями к этим плоскостям.
Пусть надо найти угол между плоскостями 
.
Вектор 
Как определить координаты нормали(перпендикуляра)к плоскости.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащих в этой плоскости.
и 
–два направляющих вектора, лежащих в плоскости ,
плоскости ,
числа, 
– неизвестные.
B 
и 
A C 
Что бы решить систему двух уравнений с тремя неизвестными, надо выразить два неизвестных через третье и подставляем произвольное значение этого неизвестного в два других.
Пример решения задач методом нормалей
Дан куб. Точка Е- середина 
. Найти угол между плоскостями AEF и BC 
.
E 
BC
|
|
|
F 
AEF, 
B C 
A D 
Выражаем x и y через z 
Пусть z=1, тогда 
и 
= 
= 
Тренажер 2.3.1. Решение задач с помощью метода координат
1. В кубе 
найти косинус угла между прямыми AE и BF, если точка E –середина 
F – середина 
2. В правильной треугольной призме 
все ребра равны. Найти косинус угла между прямыми AВ и 
3. В правильной шестиугольной призме 
все ребра равны. Найти косинус угла между прямыми A 
и 
4. В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны. 
M – середина АС, 
N – середина СВ. Найти угол между прямыми AN и 
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABC 
все ребра равны.
Е – середина SB, F – середина SС. Найти угол между прямыми AE
и 
6. В кубе Е – середина 
Найти синус угла между прямой АЕ и плоскостью В 
.
7. В прямоугольном параллелепипеде 
Е – середина АВ и
– середина А 
Найти тангенс угла
между прямой Е 
и плоскостью А .
8. В правильной шестиугольной призме 
все ребра равны. 
– середина 
. Найти синус угла между прямой АК и плоскостью В 
.
9. В правильной шестиугольной пирамиде 
сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти синус угла между прямой АС и плоскостью А 
.
10. В кубе E –середина F – середина 
Найти тангенс угла между плоскостями 
и 
11. В прямоугольном параллелепипеде А 
Найти косинус угла между плоскостями С 
В 
.
12. В кубе 
E – середина 
F - середина 
Найти угол между плоскостями 
и 
Справочный материал.
Основные формулы планиметрии
Треугольник
Прямоугольник Параллелограмм 
Ромб
Трапеция
Круг и его части
Большой и маленький радиусы
Правильные многоугольники
Треугольник Квадрат Шестиугольник
