2020-04-20
205
Основные теоремы и опорные задачи по планиметрии
Пифагоровы тройки: 3, 4, 5 6, 8, 10 5, 12, 13
МСВ= 
А
ВЕ и СD – медианы а) если MN - средняя линия, то
MN = 
AС MN 
б) если PK 
АС
А D
если AK –биссектриса, то
AB =BK AB + CD = BC + AD = 
ОО
С
А
если АВ – диаметр, то 
CМ 
B C
C B D A D
Основные формулы стереометрии
Прямая призма Правильная пирамида
Наклонная призма Цилиндр
Прямоугольный пар-д Конус
Куб Усеченная пирамида
Усеченный конус
Сфера Вписанные и описанные многогранники
Уравнение сферы Уравнение прямой
у = k x+ b, где 
координаты центра сферы
Метод координат
- длина отрезка
- координаты середины отрезка
- координаты вектора
- длина вектора
- скалярное произведение векторов
- с калярное произведение векторов
- косинус угла между векторами
Значение тригонометрических функций углов
| 0 | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 0 
| 30
| 45
| 60
| 90
| 120
| 145
| 150
| 180
| 270
| 360
|
| 0 | 
| 
| 
| 1 |
|
|
| 0 | -1 | 0 |
| 1 |
|
|
| 0 | 
| 
| 
| -1 | 0 | 1 |
| 0 | 
| 1 |
| не сущ. |
| -1 | 
| 0 | не сущ. | 0 |
| не сущ. |
| 1 |
| 0 |
| -1 |
| не сущ. | 0 | не сущ. |
Вопросы для повторения курса геометрии за 7-9 класс.
1. Определение и свойство смежных и вертикальных углов.
2. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.
3. Свойство биссектрис смежных углов.
4. Свойство серединного перпендикуляра.
5. Свойство биссектрисы угла.
6. Перпендикуляр, наклонная, проекция и их свойства.
7. Определение и свойства равностороннего треугольника.
8. Определение и свойства равнобедренного треугольника.
9. Определение и свойства средней линии треугольника.
10. Определение и свойство внешнего угла треугольника.
11. Теорема о неравенстве в треугольнике.
12. Связь углов и сторон в треугольнике.
13. Сумма углов в треугольнике.
14. Признаки равенства треугольников.
15. Формулы площади и высоты равностороннего треугольника.
16. Формулы площади и высоты, опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике.
17. Формулы площади и высоты равнобедренного треугольника.
18. Формула площади треугольника через высоту и основание.
19. Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними.
20. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности.
21. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности.
22. Формула Герона.
23. Теорема синусов.
24. Теорема косинусов.
25. Формула для нахождения угла треугольника, если известны три его стороны.
26. Связь стороны треугольника, его угла и радиуса описанной окружности.
27. Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
28. Теорема Пифагора. Пифагоровы тройки.
29. Прямоугольного треугольник с углом 30 
.
30. Прямоугольного треугольник с углом 45 .
31. Тригонометрические функции углов в прямоугольном треугольнике.
32. Свойства высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
33. Определение подобных фигур, сходственные стороны и коэффициент подобия.
34. Признаки подобия треугольников.
35. Свойства периметров и площадей подобных фигур.
36. Как вписать в треугольник окружность?
37. Как описать около треугольника окружность?
38. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности в разностороннем треугольнике.
39. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности в равностороннем треугольнике.
40. Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике.
41. Определение и свойство медианы в треугольнике.
42. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе.
43. Свойство высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике.
44. Определение и свойство биссектрисы в треугольнике.
45. Свойство тачки пересечения медиан в треугольнике.
46. Свойство площадей треугольников с одинаковыми высотами.
47. Свойство прямой, проведенной параллельно стороне в треугольнике.
48. Свойство равнобедренного треугольника с углом 60 
49. Определение и свойства параллелограмма.
50. Определение и свойства прямоугольника.
51. Определение и свойства ромба.
52. Определение и свойства квадрата.
53. Определение и свойства трапеции.
54. Определение и свойства средней линии трапеции.
55. Свойства равнобедренной трапеции.
56. Сумма углов четырехугольника.
57. Нахождение длины диагонали в квадрате, прямоугольнике и ромбе.
58. Формулы площади параллелограмма.
59. Формулы площади прямоугольника.
60. Формулы площади ромба.
61. Формулы площади квадрата.
62. Формулы площади трапеции.
63. Формулы площади любого четырехугольника.
64. Формулы площади описанного четырехугольника.
65. Формулы площади правильного шестиугольника.
66. Свойство вписанного четырехугольника.
67. Около каких четырехугольников можно описать окружность?
68. Свойство описанного четырехугольника.
69. Каких четырехугольники можно вписать в окружность?
70. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности в квадрате.
71. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности в правильном шестиугольнике.
72. Сумма углов 
– угольника.
73. Величина угла в правильном – угольнике.
74. Свойство ромба с углом 60
75. Свойство биссектрисы угла в параллелограмме.
76. Свойство биссектрис смежных углов в параллелограмме.
77. Свойства треугольников, полученных при пересечении диагоналей в трапеции.
78. Радиус вписанной в ромб окружности.
79. Радиус описанной около прямоугольника окружности.
80. Свойство равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.
81. Определение и свойство центрального угла.
82. Определение и свойство вписанного угла.
83. Свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу.
84. Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.
85. Определение и свойство касательной к окружности.
86. Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки.
87. Угол между касательной и хордой окружности.
88. Длина окружности и площадь круга.
89. Длина дуги и площадь сектора.
90. Площадь сегмента.
91. Площадь кольца.
92. Свойство пересекающихся хорд в окружности.
93. Свойство хорды, перпендикулярной к диаметру.
94. Свойство двух секущих, проведенных к окружности из одной точки.
95. Величина угла между двумя секущими, проведенными к окружности из одной точки.
96. Свойство секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки.
97. Связь длины хорды и расстояния от нее до центра.
98. Свойства хорд, стягивающих дуги в 60 
120
99. Классификация векторов.
100. Правила сложения векторов (два способа).
101. Правила вычитания векторов (два способа).
102. Нахождение координаты вектора.
103. Формула для нахождения длины вектора.
104. Формула для нахождения длины отрезка.
105. Формула для нахождения координат середины отрезка.
106. Определение скалярного произведения векторов.
107. Формула скалярного произведения векторов через координаты векторов.
108. Свойство перпендикулярных векторов.
109. Свойство коллинеарных векторов.
110. Формула нахождения косинуса угла между векторами.
111. Определение вида угла между векторами (острый, тупой, прямой)
112. Уравнение окружности.
113. Уравнение прямой. Нахождение уравнения прямой, проходящей через две точки.
114. Условие для угловых коэффициентов параллельных прямых.
115. Условие для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых.
Список литературы
1. Атанасян Л.С., Бутусов В.Ф., Кадомцев С.Б., Поздняк Э.Г., Юдина И.И..
Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян [и др.] – 16 изд. – Москва: Просвещение, 2006. – 384с. – ISBN 5-09-014901-1.
2. Атанасян Л.С., Бутусов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Поздняк Э.Г.
Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С.Атанасян [и др.]–14 изд. – Москва: Просвещение, 2005.– 206с.–
ISBN 5-09-014326-9.
3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: задачник / М.И. Башмаков. - 4 изд., стер. – Москва: ИЦ «Академия», 2017. – 416с. – ISBN 978-5-4468-5127-0.
4. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник / М.И. Башмаков. - 4 изд., стер. – Москва: ИЦ «Академия», 2017. – 256с. – ISBN 978-5-4468-5988-7
5. Ященко И.В. и др. ЕГЭ: 3300 задач с ответами по математике. Профильный уровень: задачник / И.В. Ященко [и др] – Москва: Издательство «Экзамен», 2017. – 575с. – ISBN 978-5-377-11072-9.
Оглавление
Предисловие…………………………………………………………………………………………………………………3
Часть 1. Планиметрия
Раздел 1. Геометрические фигуры………………………………………………..............................4
Тема 1.1. Углы, прямые и отрезки……………………………………………………………………………… 4
Тема 1.2. Треугольники………………………………………………………………………………………………. 6
Тема 1.3. Четырехугольники……………………………………………………………………………………… 16
Тема 1.4. Окружность………………………………………………………………………………………………… 23
Тренажер 1. Задачи к разделу «Геометрические фигуры» ……………………………………… 27
Раздел 2. Вектора и метод координат на плоскости………………………………………………32
Тема 2.1. Вектора………………………………………………………………………………………………………..32
Тема 2.2. Метод координат………………………………………………………………………………………..34
Тренажер 2. Задачи к разделу «Вектора и метод координат» ………………………………….37
Часть2. Стереометрия
Раздел 1. Геометрические тела…………………………………………………………………………….39
Тема 1.1. Призма…………………………………………………………………………………………………………39
Тема 1.2. Пирамида……………………………………………………………………………………………………44
Тема 1.3. Тела вращения……………………………………………………………………………………………53
Тема 1.4. Комбинации тел…………………………………………………………………………………………57
Тема 1.5. Расстояние между фигурами…………………………………………………………………….67
Тема 1.6. Практическая стереометрия………………………………………………………………………71
Раздел 2. Вектора и метод координат в пространстве……………………………………….. 75
Тема 2.1. Вектора………………………………………………………………………………………………………..75
Тема 2.2. Метод координат……………………………………………………………………………………….78
Тема 2.3. Применение метода координат к решению задач по стереометрии…….82
Справочный материал…………………………………………………………………………………………………91
Вопросы для повторения геометрии………………………………………………………………………….98
Список литературы………………………………………………………………………………………………………101
