2020-05-12
99
Плоскопараллельное движение (плоское) – движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Исходя из этого, движение тела можно описать движением плоской фигуры, получающейся в сечении этого тела одной из параллельных плоскостей.
В свою очередь, движение фигуры в своей плоскости можно описать движением произвольного отрезка AB, принадлежащего этой фигуре.
В общем случае плоское движение представляется совокупностью поступательного движения вместе с некоторым полюсом, и вращательного
– поворот тела вокруг этого полюса.
Таким образом, плоское движение тела определяется уравнениями:
ì xA =
ï
í yA =
f 1 (t ); f 2 (t);
(3.1)
|
3
в которых
xA =
f 1 (t) и
yA =
f 2 (t)
– характеризуют поступательную часть
движения, а j =
f 3 (t) – вращательную.
Допустим, что тело пере- местилось из положения AB в
положение
A 1 B 1
(рисунок 3.1).
Рисунок 3.1
При этом поступательная часть движения зависит от выбора полюса, а вращательная, т.е. угол поворота (по величине и на- правлению), – не зависит (j 1 = j 2). Если за полюс взять точку A,
то положение произвольной точки
B определится равенством
rB = rA + rBA . (3.2)
Определим вектор скорости точки B как производную от радиус-
вектора rB
по времени:
drB
= drA + drBA;
dt dt dt
uB = uA + uBA . (3.3)
Вектор скорости некоторой точки B плоской фигуры равен геометрической сумме скорости полюса (точки A) и скорости этой точки (точки B) в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.
uBA
– вектор относительной (вращательной) скорости точки B вокруг
полюса A.
Вектор скорости
uBA
 |
всегда направлен перпендикулярно AB в
сторону угловой скорости w и определяется векторным произведением:
uBA = w ´ rBA . (3.4)
По модулю относительная скорость uBA
будет равна:
uBA = w ´ rBA
= wrBA sin (w, rBA);
90°
где lAB – длина отрезка AB, м.
uBA = wlAB, (3.5)
Зачастую удобно пользоваться следующей теоремой (рисунок 3.2):
При плоском движении проекции абсолютных скоростей двух точек плоской фигуры на линию, проходящую через эти точки, алгебраически равны.
Так как вектор
uBA
всегда перпендикуля-
Рисунок 3.2
рен AB, то проецируется на эту линию (ось x) в точку. Тогда, спроецировав уравнение (3.3) на линию AB, получим:
uBx = uAx;
uA cos b = uB cos a.
В любой момент движения плоской фигуры, в ее плоскости существует точка скорость которой, в данный момент времени, равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС).
Для определения положения МЦС необходимо восстановить перпендикуляры к векторам абсолютных скоростей точек плоской фигуры, проведенных из этих точек. На пересечении этих линий будет находиться МЦС (точка P), т.е. точка, относительно которой в данный момент времени тело совершает мгновенный поворот. Мгновенная угловая скорость тела соответственно определится:
w = uA = uB
. (3.6)
AP BP
