Пусть на тело действует произвольная система сил , , …, , расположенных в пространстве (рис. 34а). Возьмем произвольную точку , которую назовем центром приведения, и по аналогии, как и для плоской системы, приведем все эти силы к центру (рис. 34б).
В результате в центре получаем:
Систему сходящихся сил, складывая которые получаем главный вектор системы
Пространственную систему присоединенных пар, вектора – моменты которых равны , , …, . Сложим геометрически вектора – моментов присоединенных пар.
В результате система пар заменится одной парой, вектор – момент которой будет равен или . Величина , равная геометрической сумме векторов – моментов всех сил относительно центра , называется главным моментом системы сил относительно этого центра.
Определим проекции этих двух векторов на координатные оси:
30
Направление главного вектора определяют направляющие косинусы
Направление главного момента определяют направляющие косинусы
|
|
Рассмотрим теперь, к каким простейшим видам можно привести пространственную систему сил.
Если для данной системы сил , а , то она приводится к одной паре с моментом . Причем в этом случае величина не зависит от центра приведения, т.к. иначе мы получили бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что невозможно.
Если для данной системы сил , здесь появляются следующие варианты приведения.
а) , . В этом случае система сразу заменяется равнодействующей, которая в данном случае будет равна главному вектору системы и проходить через точку .
б) , и . В этом случае система также заменяется равнодействующей, которая будет равна главному вектору системы, но проходить она будет не через точку , а через точку . Покажем, что это действительно так и определим положение точки . Пусть в результате приведения, система привилась к главному вектору и главному моменту относительно центра (рис. 35а).
Пару сил изобразим силами и , причем эти силы подбираем таким образом, чтобы у нас выполнялись равенства: , (рис. 35б).
31
Затем отбрасываем силы и , как уравновешенные, получаем, что система заменяется равнодействующей , но проходящей через точку (рис. 35в). Положение точки определится соотношением .
Приведение к динамическому винту. Если в результате приведения система привилась и к главному вектору и главному моменту, причем угол между ними либо , либо , т.е. эти вектора коллинеарные, то такая система называется динамическим винтом.
Покажем, что если угол , то систему всегда можно привести к динамическому винту. Рассмотрим такой случай (рис. 36а). Разложим на две взаимоперпендикулярные составляющие: , которая направлена, перпендикулярна плоскости , и , которая лежит в плоскости .
|
|
Складывая вектора и , по процедуре описанной в пункте 2, получаем вектор , но проходящий не через точку , а точку (рис. 36б). Вектор можно свободно переносить в плоскости , используя свойства пар сил. Поэтому переносим параллельно самому себе в точку . В результате получаем два коллинеарных вектора и , которые и образуют динамический винт (рис. 36в).
32
4. Приведение к равновесию. Если для данной системы сил и , то она находится в равновесии.
,
, , , , , (9)
Получили шесть условий равновесия : для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей, а также суммы моментов этих сил, относительно каждой из координатных осей были равны нулю.