Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события

Определение: Условной вероятностью принято называть вероятность события при условии, что событие уже произошло. Она определяется следующим образом

(10)

Пример 15. В урне содержится три белых и три черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ).

Решение. В урне, после первого испытания осталось 5 шаров, из них 3 белых. Следовательно, искомая условная вероятность

Получим этот же результат можно получить и по формуле (10). Предварительно отметим, что общее число исходов, т. е. совместного появления двух шаров (не важно какого цвета) определяется числом размещений . Из этого числа исходов, событию , что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый, благоприятствуют исходов. Поэтому, . Искомая условная вероятность

Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что второе событие уже произошло.

(или, ) (11)

Уравнение (11) может быть обобщено на случаи любого количества событий. В частности, для трех событий: .

При этом, совершенно безразлично какое событие считать первым, вторым и. т. д. Т. е., порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

Пример 16. Студент должен сдать по математике зачет и экзамен. Вероятность сдачи зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого для студента равна 0,9. Какова вероятность того, что студент сдаст и зачет и экзамен.

Решение. Введем следующие события:

– сдача студентом зачета, тогда ;

– сдача студентом экзамена после , тогда , поскольку событие зависит от , то .

Пример 17. Буквы слова "ЗАДАЧА" написаны на отдельных карточках. Наудачу извлекают по одной четыре карточки без возврата. Какова вероятность того, что при этом получится слово "ДАЧА"?

Решение: Введем следующие события:

– извлечение буквы "д", тогда ;

– извлечение буквы "а", тогда .

Поскольку, после наступления события остается 5 карточек, из которых три содержат букву "а", следовательно, и – зависимые события.

– извлечение буквы "ч", тогда , так как зависит от наступления событий и ;

– извлечение буквы "а", тогда , так как зависит от наступления событий и и ;

– событие, которое состоит в появлении слова "дача", то есть наступят события и и и , которые являются зависимыми, поэтому .

Пример 18. Вероятность попадания в цель каждого из трех орудий соответственно равна ; ; . Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Решение. Пусть события , , – попадание в цель первым, вторым и третьим орудием, тогда ; ; . Тогда события , , – промахи, соответственно, первого, второго и третьего орудия. Следовательно

Событие состоит в том, чтобы хотя бы одно орудие попало в цель, тогда противоположное событие будет состоять в том, что все три орудия промахнутся, т. е. .

Тогда

Искомая вероятность

В том случае когда события независимые, например, вероятность события не зависит от появление события , теорема умножения (11) принимает следующий вид

(12)

поскольку, в данном случае, условная вероятность события равна его безусловной вероятности: . Равенство (12) можно использовать в качестве определения независимых событий. Два события являются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей этих событий. Если – события и являются зависимыми.

Пример 19.. Имеются 3 ящика, которые содержат по 10 деталей. В первом ящике – 8, во втором – 7, а в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают наудачу по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение.

События , , – извлечение стандартной детали, соответственно, из 1-го, 2-го и 3-го ящика.

; ; .

Поскольку события , и – независимые, то согласно (12):

Пример 20. На обувной фабрике, брак при изготовлении каблука составляет 1%, подметки – 4%, верхней части обуви – 5%. Какова вероятность покупки потребителем хорошей обуви?

Решение. Введем следующие события:

– выпуск хорошего каблука; – выпуск бракованного каблука;

– выпуск хорошей подметки; – выпуск бракованной подметки;