а) Если дуга гладкой кривой вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:
б) Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то
Контрольные вопросы
1. Основные свойства определенного интеграла.
2. Формулы для вычисления площадей криволинейных трапеций, ограниченных кривыми и отрезками.
Раздел 5. Численные методы решения прикладных задач
Тема5.1.Приближенное решений уравнений. Интерполирование.
Метод хорд. Метод Касательных. Метод итераций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Цели занятия:
Должен уметь: находить приближенные решения уравнений; интерполяционный многочлен Лагранжа.
Должен знать: Метод хорд. Метод Касательных. Метод итераций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Приближенное решение нелинейных уравнений
Нелинейными уравнениями называются уравнения вида .
Здесь – нелинейная функция:
– нелинейная алгебраическая функция вида ;
– трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции;
– комбинирование этих функций .
Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет. Будем предполагать, что функция в промежутке непрерывна вместе со своими производными и , значения и функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. и обе производные сохраняют знак во всем промежутке.
Метод хорд
Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения , изолированный на отрезке . Рассмотрим график функции . Пусть и . Точки графика и соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу x 1 точки пересечения хорды AB с осью Ох.
Это приближенное значение находится по формуле
,
где . Пусть, например, , тогда за новый (более узкий) промежуток изоляции корня можно принять . Соединив точки и , получим в точке пересечения хорды с осью Ох второе приближение x 2, которое вычислим по формуле
,
и т.д. Последовательность чисел стремится к искомому корню уравнения . Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).
Метод итераций
Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду
Выберем произвольно приближенное значение корня и вычислим . Найденное значение подставим в правую часть соотношения и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения. В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим или .
Корень можно вычислить с заданной точностью ε по итерационной формуле
Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая
Теорема: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие
,
тогда процесс итераций (7) сходится независимо от начального значения и предельное значение является единственным корнем уравнения (6) на . Точка называется неподвижной точкой для уравнения.
Итерационный процесс поиска корня прекращается, как только выполнится условие .