Теоретический материал для самостоятельного повторения

Геометрия

7-Б класс 13.05.2020                                                              7-А класс 14.05.2020

Тема урока
Решение задач на применение признаков равенства треугольников.
Цели урока: -повторить и обобщить основные методы решения геометрических задач;

- совершенствовать навыки решения геометрических задачна применение признаков равенства треугольников;

1. Ознакомьтесь с теоретическим материалом.

Теоретический материал для самостоятельного повторения.

Давайте вспомним, что мы уже знаем о треугольнике и также закрепим навыки решения задач на доказательство равенства треугольников, применения признаков равенства треугольников.

Рассмотрим ∆АВС

А, В, С – вершины треугольника АВС, АВ, ВС, СА – стороны треугольника АВС,

∠А, ∠В, ∠С – углы треугольника АВС

Сумма длин всех его сторон – периметр треугольника. Р = АВ + ВС + СА

Вспомним виды треугольников.

Разносторонний треугольник – все его стороны имеют различную длину.

Равнобедренный треугольник – две его стороны равны между собой.

Равносторонний треугольник – все его стороны равны между собой.

Теперь повторим теоремы о равенстве треугольников: признаки равенства треугольников.

1) Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Решим задачу.

Докажите, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, AM = A₁M₁, при этом AM и A₁M₁ – медианы треугольников.

Дано:

∆ABC

∆A₁B₁C₁

AB = A₁B_1, AC = A₁C_1, AM = A₁M₁

AM и A₁M₁ – медианы треугольников

Доказать: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁

Доказательство:

Построим AM = MD    A₁M₁ = M₁D₁   Т. к. AM = A₁M₁ и AM = MD, A₁M₁ = M₁D₁ → MD = M₁D₁ → AD = A₁D₁

∆AMB = ∆DMC (по первому признаку равенства треугольников), т. к. BM = MC (AM – медиана), ∠BMA = ∠DMC (по свойству вертикальных углов), AM = MD (построение).

Аналогично: ∆A₁M₁B₁ = ∆D₁M₁C₁(1 признак равенства треугольников), т. к. B₁M₁ = M₁C₁ (A₁M₁ – медиана по условию), ∠B₁M₁A₁ = ∠D₁M₁C₁ (по свойству вертикальных углов), A₁M₁ = M₁D₁ (построение).

AB = DC = A₁B₁, A₁B₁ = D₁C₁→ DC = D₁C₁.

Аналогично: ∆AMC = ∆DMB (по первому признаку равенства треугольников), т. к. BM = MC (AM – медиана по условию), ∠BMD = ∠AMC (по свойству вертикальных углов)), AM = MD (построение).

∆A₁M₁C₁ = ∆D₁M₁B₁ (по первому признаку равенства треугольников), т. к. B₁M₁ = M₁C₁ (A₁M₁ – медиана по условию),

∠B₁M₁D₁ = ∠A₁M₁C₁ (по свойству вертикальных углов), A₁M₁ = M₁D₁ (построение).

BD = B₁D₁ = AC = A₁C₁→ ∆ABD = ∆A₁B₁D₁ (3 признак равенства треугольников) по трём равным сторонам. →∠BAM = ∠B₁A₁M₁

∆ACD = ∆A₁C₁D₁ (по третьему признаку равенства треугольников) → ∠CAM = ∠C₁A₁M_1.

→∠BAM + ∠CAM = ∠B₁A₁M₁ + ∠C₁A₁M₁ = ∠A = ∠A₁

→∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (по первому признаку равенства треугольников), AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A∠A₁.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачу на доказательства методом от противного.

Даны три точки A, B, C лежащие на одной прямой а и точка D не лежащая на этой прямой.

Докажем, что, по крайней мере, два из отрезков AD, BD, СВ не равны друг другу.

Решение:

Изобразим чертёж по условию задачи.

Докажем, что отрезки AD, BD, СВ не могут быть равны одновременно.

Допустим, что это не так, что AD = BD = СВ →∆ADB, ∆DСВ и ∆ADС – равнобедренные. →∠A = ∠C = ∠DBA = ∠DBC. (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. A, B, C ϵ а → ∠ABC = 180° (по определению развёрнутого угла).

Т. к. ∠ABC = ∠DBA + ∠DBC →∠DBA = ∠DBC = 90° →DB ┴ а (по определению перпендикуляра).

Т. к. ∠A = ∠C = ∠DBA = ∠DBC = 90° → DA┴ а иDC┴ а. (по определению перпендикуляра).

Получается, что из одной точки D на прямую, а проведено 2 перпендикуляра, что невозможно (по теореме о единственности перпендикуляра к прямой, проведённого через определённую точку).

Следовательно, наше допущение AD = BD = СВ неверно. Поэтому отрезки AD, BD, СВ не могут быть равны одновременно.

Что и требовалось доказать.