Знакочередующиеся ряды

Признак сходимости Лейбница

Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Такие ряды удобнее записывать в виде

(4.1)

или в виде

, (4.2)

где

Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак.

Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница*).

Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.

Таким образом, если и то знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходится.

Пример 4.1. Ряд

(4.3)

сходятся, т. к. для него выполняются все условия признака сходимостиЛейбница.

Знакопеременные ряды

Рассмотрим числовые ряды

(5.1)

с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.

Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд

(5.2)

Теорема 5.1. Если ряд сходится, то сходится и исходный ряд

Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд сходится, в то время как ряд расходится.

Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.

Таким образом ряд является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают

Типовая контрольная работа

Неопределенные и определенные интегралы

Задание №1

Найти неопределенные интегралы.

Решение:

1 способ метод подстановки

Сделаем замену переменной , , ,

выражаем переменную , находим нужную для подстановки .

находим дифференциал функции ,

2 способ метод подстановки

Можно сделать и такую замену переменной ,

выражаем переменную , находим нужную для подстановки .

находим дифференциал функции ,

3 способ метод внесения под знак дифференциала

в подынтегральном выражении можно увидеть, что внося под дифференциал можно получить , записывая его подобным образом как знаменатель без корня получаем , можно записать

Для решения данного интеграла как и в предыдущих необходимо посмотреть, а чем является подынтегральное выражение. В данном случае это произведение двух функций , как известно интеграл от двух функций посчитать никак нельзя! Можно взять интеграл только от одной функции. Использую формулу преобразуем подынтегральное выражение к удобному выражению интеграл от которого легко берется

Заменим данное выражение в интеграле и решим интеграл как сумму интегралов

Другие способы решения данного интеграла гораздо больше увеличивают вычисления поэтому остановимся на выше приведенном методе.

Данный интеграл решим используя метод интегрирования по частям

2 способ

Если в данном интеграле сделать замену,

с учетом данных замен получаем выражение которое не улучшилось, на наоборот увеличило количество сомножителей . Плюс в данном примере в том, что здесь явно видно, что нужно использовать метод интегрирования по частям нежели чем в предыдущем примере

Получили тот же результат, но за гораздо больше действий. Выбор конечно в пользу первого способа.

Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Интеграл от данной дроби разом найти не удастся. В этом случае необходимо дробь разложить на сумму простых дробей и затем найти интеграл от каждой дроби.

Для разложения дроби на сумму простейших используем метод неопределенных коэффициентов.

Для использования метода приравняем каждую скобку знаменателя к нулю , . Так как корень этой скобки действительное число, то имеем дробь . Приравниваем , как видим корень мнимый, в данном случае дробь будет иметь вид .

В итоге имеем разложение

Приводим дроби к общему знаменателю и группируем слагаемые так чтобы

Приравниваем находим коэффициенты А, В и С.

Подставляем данные коэффициенты в дробь

Подставляем разложенную дробь в подынтегральное выражение

Задание №2

Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Для решения подобных интегралов, в которых подынтегральная функция представляет собой дробно-иррациональное выражение используют замену переменной либо всего выражения с корнем либо слагаемое содержащее корень. Далее с помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют определенный интеграл .

Ответ:

Рассмотрим решение подобного примера

В данном примере также как и в предыдущем в первую очередь необходимо заменить корень любой переменной.

Ответ:

Рассмотрим еще один пример с дробно-иррациональным выражением

Как и в предыдущих интегралах заменим корень на переменную, чтобы корней не было вообще, если же корни появляются еще раз, то снова стоит заменить корень на уже другую переменную.

Ответ:

Задание №3

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Несобственный интеграл с бесконечным верхним или нижнем пределом интегрирования имеет один из видов

или

Решают несобственный интеграл в начале как обычный интеграл с определенными пределами, а затем вычисляют значение полученного интеграла с помощью предела. Если предел конечен, то предел сходится, если стремится к бесконечности, то не сходится.

Рассмотрим пример

Так как предел стремится к бесконечности, следовательно, интеграл расходится.

Ответ: расходится.

Так как предел равен конечному числу, то интеграл сходится.

Ответ: сходится.

Задание №4

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями.

В данном задании обязательно необходимо нарисовать рисунок. Увидеть ту область, площадь которой надо найти. Для нахождения площади фигуры воспользоваться вычислением определенного интеграла возможны два вида формул в зависимости от вида области интегрирования

1 случай

Если стрелы вы выбираете снизу вверх, это значит, что переменная у меняется функциями от y₁=g(x) до y₂=f(x), тогда переменная х меняется строго числами от x₁=a до x₂=b.

2 случай

Если стрелы вы выбираете слева направо, это значит, что переменная у меняется функциями от x₁=n(y) до x₂=m(y), тогда переменная y меняется строго числами от y₁=c до y₂=d.

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и .

Для начала построим графики функций и . Выразим из первого равенства

а из второго . Вообще из задания непонятно, какую переменную через какую надо выражать, мы идем по пути меньшего сопротивления. Выражаем переменную ту у которой нет степени, чтобы, например, не вычислять корень из чисел.

Построим таблицу значений для первой функции подбирая всевозможные у. Графиком данной функции является парабола, имеющая симметрию относительно оси х.