Задачи для самостоятельного решения (дистанционное обучение)

11.3.1.  В тройном интеграле  перейти к цилиндрическим или сферическим координатам, если : а) область, ограниченная цилиндром , плоскостью  и параболоидом ; б) часть шара  при , , ; в) общая часть двух шаров  и .

11.3.2. Вычислить с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам: а) ; б) , где область  задается неравенствами , .

11.3.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: а) , ; б)  и  (внутри конуса).

11.3.4. Найти центр масс однородного тела, ограниченного поверхностью .

Ответы. 11.3.1.   а) ;

б) ;

в) . 

11.3.2. а) ; б) . 

11.3.3. а) ; б) (внутри сферы); (вне сферы).

11.3.4. .

ЧАСТЬ В)

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА

Вычисление площади поверхности

Рис. 12.1

Площадь поверхности , заданной уравнением , можно вычислить как интеграл от элемента площади : . Сведем интеграл по поверхности к двойному интегралу по ее проекции на плоскость  (область  на рис. 12.1). Элемент площади в декартовой прямоугольной системе  — это произведение дифференциалов . Единичную нормаль к поверхности  в произвольной точке запишем в виде , где , ,  – углы, которые нормаль составляет с осями координат. По известной формуле, связывающей площадь плоской фигуры и ее проекции на некоторую плоскость, . Здесь , а элемент  можно считать плоским из-за бесконечной малости. Нормаль к поверхности , составляющую острый угол с осью , находим по формуле (см. [1], п. 21.1):

.

Элемент площади поверхности задается формулой , а площадь поверхности вычисляется при помощи двойного интеграла .

В качестве примера найдем площадь полусферы радиуса . Уравнение полусферы с центром в точке , отсюда . Таким образом, элемент площади сферы равен . Площадь равна интегралу , где  – круг . Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам:

.

Площадь полной поверхности сферы равна .

Отметим, что элемент площади в сферических координатах имеет вид , где  — уравнение поверхности .