Схематическое и табличное моделирование в курсе математики начальной школы

Отличительной чертой нового стандарта является его деятельностный характер, ставящий главной задачей развитие личности учащегося. Система образования отказывается от традиционного понимания результатов обучения в виде знаний, умений и навыков; формулировки стандарта перечисляют очевидные виды активности, которые учащийся обязан изучить к концу начального образования. Требования к результатам обучения сформулированы в виде личностных, предметных и реальных результатов[22].

Для благополучного обучения в начальной школе должны быть созданы следующие универсальные учебные действия: — кодирование/замещение (применение знаков и символов как условных заместителей материальных объектов и предметов); — декодирование/считывание информации; — умение использовать явные модели (схемы, чертежи, планы), отражающие пространственное распределение предметов или отношения между предметами или их частями для решения задач; — умение создавать схемы, модели и т. п.

Итак, умение работать со схемами и таблицами включено в учебную деятельность как одно из действий, какое должно быть выработано уже к концу начальной школы.

Формирование учебных действий у детей начинается в младшем школьном возрасте.

Во–первых, введение в содержание обучения понятий модели и моделирования в виде схем и таблиц существенно изменяет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную работу более осмысленной и более эффективной.

Во-вторых, целенаправленное и планомерное обучение методу схематического и табличного моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их умственное развитие.

Ради того, чтобы вооружить учащихся умением работать со схемами и таблицами как методом познания, необходимо, чтобы школьники сами строили вспомогательные модели, сами изучали какие-либо объекты, явления при помощи моделирования.

В состав учебного моделирования входят следующие пункты или уровни: — предшествующий анализ текста задачи; — перевод текста на знаково-символический язык, каковой может осуществляться вещественными или графическими средствами; — построение модели; — работа с моделью; — соотнесение итогов, полученных на модели, с реальностью (с текстами). Каждый элемент активности моделирования имеет свое содержание со своим составом операций и своими средствами. Рассмотрим содержание каждого компонента подробно.

Содержание этапов.

Предшествующий анализ текста задачи включает несколько приёмов. Он предполагает работу над отдельными словами, терминами, перефразирование, переформулировка текста. Другими способами анализа текста, ведущего к пониманию его смысла, есть постановка вопросов, определенный порядок чтения документа, выделение смысловых основных пунктов текста. В общей деятельности моделирования действие анализа текста является подготовительным этапом для построения модели. Перевод текста на знаково-символический язык делает понятными связи и отношения, скрытые в тексте, и помогает тем самым поиску и нахождению решения. Эффективность перевода текста определяется видом используемых знаково-символических средств. В процессе обмена должны учитываться требования, предъявляемые к выбору и характеристикам знаково-символических средств. Выделяются следующие требования: лаконичность; обобщение; абстрактность; четкое разграничение элементов, несущих основную смысловую нагрузку; автономность; структурность; последовательность представления элементов.

Во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, а для решения требуется последующая работа с построенными схемами или таблицами. Здесь возникает потребность формирования у учащихся искусства работать с моделями, преобразовывать их. На данной стадии можно определить насколько ученик готов к мысленным преобразованиям образно-знаковых моделей, насколько подвижно его образное мышление. Работу с моделью можно вести в 2-х направлениях: а) достраивание схемы, исходя из логического выведения, расшифровки данных задачи; б) видоизменение схемы, ее реконструкцию. Соотнесение итогов, полученных на модели, с реальностью (с текстом). Моделирование производится для того, чтобы получить свежие данные о реальности или ее описании. Из практики известно, что учащиеся после решения задачи, так или иначе, проверяют свои результаты для подтверждения того, что они удовлетворяют условию и требованиям задачи. Принципиально важным при проверке ответов решения задачи является не столько выявление правильности (точности), сколько сравнение данных, полученных на модели, с ее описанием в тексте. При моделировании задачи могут быть употреблены разнообразнейшие знаково-символические средства (иконические знаки, отрезки, графы, простейшие математические модели).

При создании различного вида моделей очень важно установить, какая информация должна быть введена в модель, какие средства (символы, знаки) будут применяться для каждой выделенной составляющей текста, какие из них должны иметь постоянную символику, а какие — различную. В процессе создания модели и работы с ней проходит анализ текста и его перевод на математический язык: выделяются известные и неизвестные предметы, величины, взаимоотношения между ними, основные и промежуточные вопросы. Один из подходов к обучению работе со схемами и таблицами при решении проблем предложен Ж. Верньё. Для анализа текста задачи он использовал последующие две категории: состояния объекта и трансформации. Под состояниями объекта понимается описание в тексте задачи тех ситуаций, в которых действует объект. Различают начальное, конечное и промежуточное состояния (или ситуации). Трансформации — это те изменения в объектах (или с объектами), которые совершаются при переходе их от одного положения к другому. Трансформация приводит к новому образу соотношений между состояниями объекта. В схемах, предложенных Ж. Верньё, для анализа и решения задач данные обозначаются в виде геометрических форм. Объекты — квадраты; отношения между состояниями объектов — линии, стрелки, на которых показывают направленность отношений; отношения между величинами состояния объекта - круги [7].

Заданные числовые значения величин объекта и отношений среди величин указываются соответствующими числами, знак при которых фиксирует тип отношения величин (равенство, разностное, кратное, целое/часть).

Наряду с описанными выше способами также применяется табличный способ изображения содержания задачи. Он наиболее часто используется для задач с разнородными величинами, когда часть из них изображает переменными, связываемыми постоянной величиной. Это, обычно, задачи на «процессы». При создании таблицы реализуются те же этапы учебного моделирования.

Следовательно, умение создавать учебные модели и работать с ними

является одним из компонентов общего способа решения задач. Модель позволяет перевести текст на математический язык и понять структуру математических отношений, скрытую в тексте. Применение одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для задач с разнообразными сюжетами и различных типов способствует развитию общего порядка анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению методов решения.

Одним из наиболее полезных для развития действия моделирования типов заданий являются текстовые задачи. Чтобы решить задачу, надо выстроить её математическую модель.

В математике широко применяется метод моделирования при решении задач.

Любая математическая задача состоит из условия (утверждения), вопроса или требования. Причем, в задаче обычно не одно, а несколько базовых условий. Они представляют собою количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними.

Требований в заданиях тоже может находиться несколько. Они могут быть сформулированы, как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют словесной моделью.

Работа над текстовой задачей начинается с того что её читает ученик. Для того чтобы решить задачу, учащийся обязан уметь переходить от текста (словесной формы) к представлению ситуации (мысленной модели), а от неё к записи решения при помощи математических знаков (знаково-символической модели).

Все эти модели являются воспроизведением одного и того же объекта - задачи. Они различаются друг от друга тем, что исполнены на различных языках: языке слов (словесная модель); языке образов (мысленная); языке математических знаков (знаково-символическая).

В учебном процессе бывают примеры, когда просто неизбежно умение работать со схемами и таблицами:

1)  класс на уроке встречается с новым типом задач;

2) педагогу нужно проследить осознанность решения задачи учащимися;

3) «слабые» ученики не могут обойтись без модели, и им разрешается произвести модель наиболее понятного для них вида.

Так как уровень умственного развития у детей разный, то нельзя, не учитывая отдельных особенностей ребёнка, научить его решать по шаблону каждую задачу.

Учащимся с разнообразным уровнем развития требуются разнообразные приёмы работы с задачей, поэтому на уроках математики необходимо знакомить детей с возведением нескольких видов моделей к одной и той же текстовой задаче. Это требуется для того, чтобы дети не оказались в ситуации неуспеха, а чувствовали себя способными разрешить любую задачу.

Полезно пользоваться чертежами и схематическими изображениями, блок – схемами, моделированием при помощи отрезков и таблиц.

«Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: верхняя – нижняя, левая – правая, увязывать пространственную информацию с информацией меры, тем самым, формируя умение решать задачи»[23].

Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен определенный объект, какова его структура, основные качества, законы изменения; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие методы управления при заданных целях и критериях.

Глубина и весомость открытий, которые совершает младший школьник, решая задачи, определяется видом осуществляемой им деятельности и мерой ее освоения, тем, какими средствами этой активности он владеет. Ради того, чтобы ученик уже в начальных классах мог изучить и выделить способ решения широкого класса задач, а не ограничивался нахождением ответа в этой, конкретной проблеме, он обязан получить кое-

какие теоретические знания о задаче и, прежде всего, о ее структуре.

Известный отечественный психолог А.Н. Леонтьев писал: «Актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной активности субъекта»[15]. Поэтому, чтобы структура задачи стала объектом анализа и изучения, необходимо изолировать ее от всего несущественного и представить в таком облике, который предоставлял бы необходимые действия. Сделать это можно путем различных знаково-символических средств — моделей, одинаково отображающих структуру задачи и довольно простых для восприятия младшими школьниками.

В структуре любой задачи выделяют:

1. Предметную область, т. е. объекты, о которых идет речь в задаче.

2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.

3. Требование задачи.

Объекты задачи и отношения между ними есть условие задачи. К примеру, в задаче: «Лиза нарисовала 12 домиков, а Валик — на 4 дома больше. Сколько домиков нарисовал Валик?» — объектами являются:

1) число домов, нарисованных Лизой (это известный объект в задаче);

2) число домов, нарисованных Валиком (это неизвестный объект в задаче и согласно условию, искомый).

Связывает объекты отношение «больше на».

Структуру проблемы можно представить при помощи разных моделей. Все модели принято делить на схематизированные и знаковые модели.

В свою очередь, схематизированные модели бывают вещественными (они обеспечивают физическое действие с предметами) и графическими (они обеспечивают графическое действие).

К графическим моделям относят условный рисунок, рисунок, чертеж, схематический чертеж (или схему).

Знаковая модель задачи может выполняться как на естественном языке (т. е. имеет словесную форму), так и на математическом (т. е. используются символы).

Например, знаковая модель данной задачи, выполненная на математическом языке, имеет вид выражения 12+4.

Уровень овладения умением работать со схемами и таблицами определяет успех решающего. Поэтому обучение умению работать со схемами и таблицами занимает особое место в формировании умения решать задачи.

Выводы по главе 1

Область математических представлений, которая складывается у детей в начальных классах школы, становится фундаментом для дальнейшего математического образования и влияет на его успешность.

В процессе формирования элементарных математических представлений у школьников педагог использует разнообразные методы обучения и умственного воспитания: практические, наглядные, словесные. В формировании элементарных математических представлений ведущим принято считать практический метод, который включает в себя: элементарные опыты, умение работать со схемами и таблицами, решение проблемных ситуаций. Сущность данного метода заключается в организации практической деятельности детей, направленной на усвоение определенных способов действий с предметами или их заменителями (изображениями, графическими рисунками, моделями и т.д.) на базе которых возникают математические представления.

Для успешного математического образования школьников необходимо создание определенных условий, благодаря которым облегчается процесс усвоения математических знаний. Одним из необходимых условий является решение заданий по математическому моделированию, в частности, умение работать со схемами и таблицами.