Образование и задание поверхности на чертеже

1 2 3 4 5 6 7

Рецензент

Морозов И.В. канд. техн. наук, доцент кафедры

Начертательной геометрии и графики ИГАСУ

Содержание

Введение 4

1. Что такое поверхность 5

2. Образование и задание поверхности на чертеже 6

3. Поверхности вращения 8

4. Коническая поверхность вращения 10

4.1. Сечения конуса 18

4.2. Пересечение прямой линии с поверхностью конуса 29

4.3.Пересечение тел 30

5. Цилиндрическая поверхность вращения 35

5.1. Сечения цилиндра 38

5.2. Цилиндр с призматическим вырезом 42

6. Сфера 45

6.1. Сечение шара 46

6.2. Шар с призматическим вырезом 49

7. Библиографический список 52

ВВЕДЕНИЕ

Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от элементарной, отличающейся простотой и математической строгостью, плоскости, до сложнейших причудливых форм криволинейных поверхностей, не поддающихся математическому описанию.

Естественно, что начертательная геометрия как наука не может обойти вниманием такие важные геометрические фигуры, какими являются поверхности.

Поверхности вращения широко применяются в технике, что объясняется распространённостью вращательного движения и простотой обработки поверхностей вращения на станках.

ЧТО ТАКОЕ ПОВЕРХНОСТЬ

«Поверхность» - одно из основных геометрических понятий. При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придаётся различный смысл.

1) В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых поверхностей определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара – множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие «поверхность» лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что поверхность есть граница тела или движущейся линии.

2) Математически строгое определение поверхности основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям).

Поверхности составляют широкое многообразие нелинейных фигур трёхмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчётом и изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации конструирования, расчёта и воспроизведения сложных технических поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей начертательной геометрии составляют основу инструментальной базы трёхмерного моделирования современных графических редакторов.

Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z) -многочлен n-й степени) и трансцендентные (F(x,y,z) -трансцендентная функция).

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определён также числом точек её пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии.

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Поверхность можно рассматривать как совокупность последователь-

ных положений LL2 … линии L, перемещающейся в пространстве по определённому закону (рис. 1). В процессе образования поверхности линия L может оставаться неизменной или менять свою форму – изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии L целесообразно задавать графически в одной линии или целом семействе линий (m, n, p…). Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные – направляющими. Такой способ образования поверхностей называется кинематическим.

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество линий, конгруэнтных профилю резца.

Рис.1

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на так называемые развёртывающие, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость, и неразвёртывающиеся.

Если же группировать поверхности по закону движения образующей линии и производящей поверхности, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

- поверхности вращения;

- винтовые поверхности;

- поверхности с плоскостью параллелизма;

- поверхности переноса.

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых не подчинено никакому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают, и устанавливают их форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолётов).

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности.

Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющих реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхности вращения – это поверхности, созданные при вращении образующей m вокруг оси i ( рис. 2).

Рис.2:

а) эпюр; б) модель

Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i (рис.2,а).

Алгоритмическая часть включает две операции (рис.2,б):

1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, … F.

2. Каждую точку вращают вокруг оси i.

Так создаётся каркас поверхности, состоящий из множества окружнос-

тей (рис.3), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Рис.3

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

1. Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели.

2. Плоскость, проходящая через ось вращения i, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости

проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, - главным меридианом (или фронтальным).

Он проецируется на плоскость П2 без искажения и определяет очертание поверхности на фронтальной плоскости проекций П2 (фронтальный очерк).

Поверхности вращения второго порядка, являющиеся частным видом поверхностей вращения, образуются при вращении кривых второго порядка вокруг осей. Произвольная прямая линия пересекает такую поверхность в двух точках. В пространственной декартовой системе координат поверхность второго порядка выражается уравнением второй степени.