IV. Сравнение обыкновенных дробей

Далее,при изучении сравнения обыкновенных дробей, полезно рассмотреть решение следующей задачи, в котором прослеживаются все возможные случаи:

Известно, что одна из дробей  находится на числовой прямой между дробями  . Найдите эту дробь.

Сначала узнаем, как на числовой прямой расположены дроби  . Обратите внимание —у них одинаковые числители. Это значит, что берётся одинаковое количество долей. Однако доли берутся разные: в первой дроби мельче, чем во второй (двенадцатые доли единицы мельче, чем восьмые доли). Следовательно, .

А можно было рассуждать так: в первой дроби 7 делится на 12, а во второй то же самое число 7 делится на 8. Значит, первое частное меньше второго. Итак, на числовой прямой дробь  будет расположена левее, чем  :

Теперь нужно выбрать среди дробей  ту, которая больше , но меньше . Начнём с дроби  Её удобно сравнивать с  : у этих дробей одинаковые знаменатели, то есть единица делится на одинаковые доли. Значит, больше будет та дробь, в которой этих долей берётся больше:  . (а можно было прийти к такому же выводу, заметив, что  > 1, а  < 1),

то есть  нам не подходит.

Для дроби  нетрудно найти место по отношению к дроби :  :

Дробь  ещё меньше, чем значит, эта дробь нам тоже не подходит:

Рассмотрим теперь дробь . Она похожа на  тем, что и у той, и у другой числитель на единицу меньше знаменателя. Эти дроби близки к 1, но первой до 1 не хватает , а второй не хватает . Получается, что первая дробь ближе к 1, следовательно:

Осталась только одна дробь:  Получается, что именно эта дробь должна на числовой прямой оказаться между  и  . Давайте все-таки проверим, сравнив дроби  ,  и  Сравнивать было бы легко, если бы эти дроби имели одинаковые знаменатели. Но ведь мы можем привести все эти дроби к новому знаменателю! Сделаем это.

Новый знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из этих дробей, то есть должен быть общим кратным для чисел 12; 8 и 32. Найдём наименьшее общее кратное этих чисел:

НОК(12; 8; 32) = 96.

Приведём все три дроби к новому знаменателю 96:

Из решения данной задачи можно сделать вывод:

1.   Из двух обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.

2.   Из двух обыкновенных дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель.

3.   Любая правильная обыкновенная дробь меньше любой неправильной.

4.   Чтобы сравнить обыкновенные дроби, можно привести их к общему знаменателю (наименьшему общему знаменателю). При этом в качестве нового знаменателя обычно выбирают наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.