Рис. 5. Десятичная система Древнего Египта

Покажем, как можно записать числа в этой системе счисления. В первой строке записаны числа в наиболее древней чисто иероглифической системе счисления, во второй – числовой алфавит более поздней, сокращенной, так называемой иератической системе счисления.

Рис. 6 Образцы записи чисел

Методы вычислений

Вторым рассмотрим методы вычислений. При анализе различных источников нами было выявлено, что все правила счета древних египтян основывались на умении складывать, вычитать и удваивать числа, а так же дополнять дроби, о которых мы поговорим ниже, которые на тот момент уже были известны египтянам, до единицы Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф в виде идущих ног Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции- многократного удвоения или раздвоения чисел (разделения на два). Отметим, что выглядели такие расчеты довольно громоздко.

Сложение и вычитание небольших чисел выполнялось так же, как и сейчас. Сложение – присчитыванием единиц с заменой десяти символов одного разряда символом следующего разряда. Вычитание – отысканием числа, которое надо прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое.

А вот при умножении использовался аддитивный принцип. Не надо было знать таблицу умножения, достаточно уметь удваивать и складывать.

Деление выполнялось как действие, обратное умножению. Интересно, что Лев Толстой в своей Яснополянской школе использовал именно такой метод умножения.

Все дроби в древнеегипетской математике необходимо было свести к сумме так называемых основных, то есть аликвотных (с числителем 1) и 2/3 и ¾. Для последних существовали особые знаки. В папирусе Райнда дана специальная таблица разложения дробей на сумму основных. С нашей точки зрения это совершенно бессмысленная задача. Однако она заимствована древними греками и применялась не только в эпоху эллинизма, но и в средние века. Такова сила традиции.

Для дробей были специальные обозначения. В древнем Египте были дроби только с числителем, равным единице вида l/n, где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными (от лат. aliquot – «несколько»). Единственная не аликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, – это 2/3. Иногда вместо деления m:n производили умножение m*1/n. Считаем нужным уточнить, что действия с дробями являлись важной особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. И только сравнительно небольшой круг вопросов в египетских папирусах сводится к решению простейших уравнений с одним неизвестным. Таким примером можно считать 33-ю задачу из папируса Райнда: «Некое количество, его 2/3, его 1/ 2 и его 1/7, сложенные вместе дают 37. Каково это количество?». Ответ приводится в аликвотных дробях: 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

В египетских папирусах встречаются также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, что ещё раз подчеркивает не только практический, но и теоретический характер древней математики. Например, 79 задача из парируса Райнда представляет собой облеченную в занимательную форму отвлеченную задачу на геометрическую прогрессию. В задаче имеется 7 домов, в каждом 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев ячменя, каждый колос дает 7 мер зерна. Необходимо найти сумму домов, кошек, мышей и мер зерна.