Построение безразмерных обобщенных моделей

Математические модели многих объектов или процессов, как правило, имеют достаточно большое число параметров, и это существенно затрудняет выявление каких-либо закономерностей. Построение безразмерной модели еще на этапе, предшествующем проведению вычислительных экспериментов с математической моделью, позволяет существенно повысить ее информативность и информа-тивность результатов моделирования. Это следствие сокращения количества параметров и выявления безразмерных комплексов, которые определяют свойства моделируемого объекта.

Построение безразмерной модели позволяет установить законы подобия. Именно при построении моделей технических объектом были впервые разработаны основные положения теории подобия, которые впоследствии нашли применение при решении многих задач В предыдущем разделе такие преобразования нами уже производились; теперь же мы рассмотрим общую методику, суть которой состоит в следующем.

1.Построение модели — математическая модель строится в виде системы уравнений в размерной форме; только в этом виде уравнения отражают «физическую» суть моделируемых процессов.

2.Определение безразмерных переменных — все переменные (пространственные координаты, время, искомые функции) представляются в безразмерной форме путем введения неопределенных масштабов.

3.Преобразование модели к безразмерному виду— уравнения, краевые и начальные условия чисто алгебраическими методами преобразуются к безразмерному виду; в этом случае в уравнениях образуются безразмерные комплексы размерных параметром которые включают неопределенные масштабы.

4.Определение масштабов — безразмерные комплексы, содержащие неопределенные масштабы, приравниваются единице, тем самым образуется система алгебраических уравнений, решение которой дает выражения для неопределенных масштабов. Разумеется, количество алгебраических уравнений, которые используются для определения масштабов, должно быть равно количеству неопределённых масштабов.

В оставшихся безразмерных комплексах масштабы получают конкретные значения. Эти комплексы и образуют безразмерные параметры задачи. Таким чисто формальным путем могут быть получены естественные безразмерные параметры модели, которые в каждом конкретном случае имеют свой «физический» смысл. Результаты же исследования безразмерной модели распространяются на множество реальных объектов, для которых безразмерные параметры имеют одинаковое значение.

В качестве примера рассмотрим преобразование к безразмерному виду модели динамической системы, которая представляет собой тело m, совершающее колебания под действием упругой пружины и сил трения. Схема объекта исследования представлена на рис. 3.

Рис.3

Построение модели.

Исходная размерная модель, записанная в виде системы дифференциальных уравнений, имеет вид:

x(t = 0) = х0; V(t = 0) = 0, m - масса тела, х — координата тела, V — его скорость, с — жесткость пружины, k— коэффициент трения. Значение х = 0 соответсвует положению равновесия.

Определение безразмерных переменных. Определим безразмерные переменные, используя следующие соотношения: