Работы и подготовке к практическим занятиям

Начинайте изучение числовых последовательностей с известных Вам из курса средней школы арифметической и геометрической прогрессий. Подойдут для примера также множества натуральных чисел, четных, нечетных чисел. Запишите формулы общего члена для всех указанных примеров. Рассмотрите, к чему стремятся эти последовательности при неограниченном возрастании номера члена последовательности. Запомните определение предела последовательности и его запись на языке кванторов.

Предел функции в точке рассматривайте с помощью графика. Обратите внимание на то, что радиус окрестности ε предельного числа A выбирается произвольно и откладывается на оси ординат, а радиус окрестности δ предельной точки х₀ определяется по ε и откладывается на оси абсцисс. Обратите также внимание на то, что если окрестность числа х₀ получается несимметричной, то в качестве радиуса δ принимается меньший интервал окрестности. Односторонние пределы рассматривайте для кусочно-аналитического задания функции. В таких функциях односторонние пределы в точках «стыка» обычно не совпадают, и в таких случаях обычного предела в этих точках не существует. Рассмотрите односторонние пределы для известных из курса средней школы функций y = tgx в точках х = ±  и y = ctgx в точках х = ± . При рассмотрении предела функции на бесконечности возьмите для примера известные элементарные функции y = x² и у = .

Изучая бесконечно малые и бесконечно большие функции, обратите внимание, что одна и та же функция может быть бесконечно большой в одной точке и бесконечно малой – на бесконечности и наоборот. Особое внимание нужно обратить на основные теоремы о пределах функции и условия их применения. Необходимо запомнить, что если функция имеет предел в точке или на бесконечности, то он единственный.

При вычислении пределов следует начинать с подстановки предельного значения аргумента в выражение для функции, при этом важно помнить, какие выражения являются неопределенностями и по какому правилу их следует раскрывать. Если неопределенности нет, то нужно сразу записывать ответ.

При рассмотрении примеров на замечательные пределы необходимо уяснить, какого вида неопределенности они раскрывают, и если этих неопределенностей нет, то пользоваться соответствующими формулами первого и второго замечательных пределов нельзя. При использовании первого замечательного предела нужно помнить большинство формул тригонометрии, например, синус и косинус двойного аргумента, формулы понижения степени, значения тригонометрических функций некоторых углов и др.