2020-10-09
191
Задание 1. Вычислить указанные определённые интегралы.
Вариант 0.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 1.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 2.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 3.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 4.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 5.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 6.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 7.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 8.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Вариант 9.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Задание 2. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить её площадь.
Вариант 0. 
Вариант 1. 
Вариант 2. 
Вариант 3. 
Вариант 4. 
.
Вариант 5. 
.
Вариант 6. 
Вариант 7. 
.
Вариант 8. 
Вариант 9. 
Задание 3. Вычислить объём тела, получающегося при вращении вокруг оси 
фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.
Вариант 0. 
Вариант 1. 
.
Вариант 2. 
Вариант 3. 
.
Вариант 4. 
Вариант 5. 
.
Вариант 6. 
Вариант 7. 
Вариант 8. 
Вариант 9. 
.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Практическая часть
Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, то есть уравнением вида 
(здесь 
). Запишем его в виде 
. Разделив обе части уравнения на 
и умножив на 
, получаем ДУ с разделенными переменными
|
|
|
,
в левой части которого отсутствуют члены, содержащие 
, и в правой части которого отсутствуют члены, содержащие 
. Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем 
,
или 
(здесь символ 
обозначает какую-либо одну первообразную, произвольная постоянная 
взята в логарифмическом виде для удобства). После потенцирования получаем общее решение исходного ДУ
.
Заметим, что здесь постоянная 
может принимать любое действительное значение, в частности значение 
, так как при получаем функцию 
, которая также является решением исходного уравнения.
Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее условию 
, определим значение постоянной так, чтобы это условие оказалось выполненным.
Подставив в общее решение 
и 
, получаем 
, отсюда 
. Следовательно,
– искомое решение задачи Коши.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Запишем уравнение в виде
.
Данное уравнение является однородным ДУ первого порядка, то есть уравнением вида 
(здесь 
). Для его решения сделаем подстановку 
. Отсюда 
и 
. Подставляя выражения для 
и 
в последнее ДУ, получаем
,
или 
.
Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.
|
|
|
, 
, 
, 
, 
.
Найденное решение 
подставим в формулу и получим, что общее решение исходного ДУ есть 
.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка, то есть уравнением вида 
(здесь 
, 
). Его решение будем искать в виде произведения двух функций 
. Запишем производную произведения 
. Подставляя данные выражения в ДУ, получаем
или 
. (
)
Приравняем к нулю выражение в скобках в левой части уравнения ():
. Решив это ДУ с разделяющимися переменными, найдем функцию 
.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
(Так как ищется любое ненулевое частное решение , то значение произвольной постоянной при интегрировании можно выбрать нулевым).
Подставив найденную функцию в равенство (), получаем
, или 
.
Полученное ДУ с разделяющимися переменными запишем в виде
или 
.
Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем
.
Перемножив найденные функции и , получим общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Пример 4. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка
.
Решение. Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид 
, где 
– общее решение однородного уравнения, а 
– частное решение неоднородного уравнения.
Сначала решим однородное уравнение
.
Составим для этого ДУ характеристическое уравнение
.
Решая это квадратное уравнение, находим его корни 
. Так как 
, то общее решение однородного ДУ имеет вид
.
