Задание 1. Изобразить область определения функции двух переменных .
1.1. . 1.6. .
1.2. . 1.7. .
1.3. . 1.8. .
1.4. . 1.9. .
1.5. . 1.10. .
Задание 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.
2.1. а) ; б) .
2.2. а) ; б) .
2.3. а) ; б) .
2.4. а) ; б) .
2.5. а) ; б) .
2.6. а) ; б) .
2.7. а) ; б) .
2.8. а) ; б) .
2.9. а) ; б) .
2.10. а) ; б) .
Задание 3. Исследовать на экстремум функцию .
3.1. .
3.2. .
3.3. .
3.4. .
3.5. .
3.6. .
3.7. .
3.8. .
3.9. .
3.10. .
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Практическая часть
Пример 1. Вычислить интеграл .
Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Тогда = = == .
Пример 2. Вычислить интеграл .
Делаем замену , тогда и . Следовательно,
= = = .
Пример 3. Вычислить интеграл .
Делаем замену , тогда .
Следовательно,
= .
Пример 4. Вычислить интеграл .
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
.
Пример 5. Вычислить интеграл .
=
.
Пример 6. Вычислить интеграл .
= =
.
При решении мы воспользовались правилом
Пример 7. Вычислить интеграл .
а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители:
.
б) подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:
.
Тогда
,
Следовательно,
.
Определим постоянные , и .
Если , то и ;
если , то и ;
если , то и .
Тогда
= = .
Индивидуальные задания
Вариант 0. 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ; 10) .
Вариант 1. 1) ; 2) ;
3) ;
4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
Вариант 2. 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
Вариант 3. 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
Вариант 4. 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
Вариант 5. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;
7) ;
8) ; 9) ; 10) .
Вариант 6. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
Вариант 7. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
Вариант 8. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
Вариант 9. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) .
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Практическая часть
Пример 1. Воспользуемся правилом интегрирования
,
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получим:
=
.
Пример 2. Воспользуемся методом интегрирования по частям для вычисления определённого интеграла:
= =
= .
Пример 3. =
= =
Пример 4. Воспользуемся правилом интегрирования () и табличным интегралом 4):
=
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Рис.3
Найдём абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему
Решая полученную систему уравнений, получаем:
После построения графиков заданных функций получим фигуру (рис.3), ограниченную прямой и параболой .
Площадь фигуры, изображённой на рис.4, вычисляется по формуле:
.
В нашем случае , следовательно,
(кв. ед.).
Рис.4.
Пример 6. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:
Первое уравнение задаёт гиперболу, а уравнение задаёт вертикальную прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой. Пользуясь формулой для вычисления объёма тела вращения
,
находим объём тела (рис.5), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси :
(куб. ед.)
Рис.5.