Для нахождения точек пересечения графика с осью решим систему уравнений
Отсюда получаем, что , . Следовательно, точка является точкой пересечения графика функции с осью .
Для нахождения точки пересечения графика функции с осью решим систему уравнений
Отсюда , , поэтому точка является точкой пересечения графика функции с осью .
4. Исследование функции по первой производной (интервалы монотонности, точки экстремума).
Найдем первую производную функции:
при , не существует при и . Точки , , разбивают область определения функции на четыре интервала , , , . Определим знак производной на каждом из них. Возьмем любое число из интервала , например . Так как , поэтому на всем интервале производная и, следовательно, функция монотонно возрастает. Аналогично определяем знак производной на трех других интервалах:
,
,
.
Результаты исследования занесем в таблицу:
0 | |||||
+ | + | 0 | − | − | |
0 | |||||
функция возрастает | функция возрастает | max | функция убывает | функция убывает |
Итак, функция возрастает на каждом из интервалов , и убывает на интервалах , . В точке производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, − точка максимума функции. Значение функции в этой точке равно:
.
5. Исследование функции по второй производной (выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика).
Найдем вторую производную функции:
, если . Это уравнение не имеет решения.
не существует при и .
Точки , разбивают область определения функции на три интервала: , , . Определим знак производной на каждом из них. Так как , поэтому на всем интервале производная и, следовательно, график функции является вогнутым на данном интервале. Аналогично определяем, что на интервале , поэтому график выпуклый на данном интервале. На интервале , поэтому график вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:
+ | − | + | |
вогнутый график | выпуклый график | вогнутый график |
Точек перегиба на графике функции нет.