Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: .
Если это соотношение разрешить относительно , то получится уравнение вида: . Оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Его всегда можно записать в так называемой дифференциальной форме: или .
Отыскание решения дифференциального уравнения , которое удовлетворяет заданным начальным условиям , является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение: Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде: , то есть, если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых не зависит от , а другая от .
Пример 1.
Найти общее решение дифференциального уравнения .
Разделяя переменные и интегрируя, получаем: – общий интеграл данного уравнения во всей плоскости .
Пример 2.
Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
|
|
Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к виду: .
Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы . Отсюда получаем Общий интеграл . Подставляем начальное условие : ,
отсюда получаем частный интеграл