Обчислення скалярного добутку через координати

Якщо , то отримаємо формулу для знаходження скалярного добутку:

                  (21)

Отже, скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх відповідних координат.

 

Кут між двома векторами.

Якщо відомі координати векторів та , то

(22)

 

Приклад 9. Обчислити (, ), якщо .

Розв’язання:

Користуючись формулою (21) знаходимо

Відповідь:

 

Приклад 10. При якому значенні m вектори  будуть перпендикулярними?

Розв’язання:

Два вектори перпендикулярні, якщо скалярний добуток дорівнює нулеві, тобто користуючись формулою (21) знаходимо скалярний добуток векторів тобто Оскільки вектори та перпендикулярні, то Отже, Звідси отримаємо, що

Відповідь: При  вектори і перпендикулярні.

 

Приклад 11. Обчислити роботу, яку виконує сила , коли її точка прикладання рухається прямолінійно, переміщуючись із положення А(2; -3; 5) в положення В(3; -2; -1).

Розв’язання:

Згідно з формулою (20) робота . Вектор переміщення .

Тоді

Відповідь:  робота дорівнює 31од.

 

Приклад 12. Точки А(-1; 2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1) є вершинами ΔАВС. Знайти його внутрішній кут при вершині В.

Розв’язання:

Кут φ – це кут між векторами  Тоді використовуючи формулу (22) отримаємо:

Отже, φ=45⁰.

Відповідь: Кут при вершині В дорівнює 45⁰.

 

Приклад 13. Дано вектори  Знайти проекцію вектора  на вектор .

Розв’язання:

Користуючись формулою (19)

знаходимо . Далі знаходимо скалярний добуток векторів .

.

Відповідь: Проекція вектора дорівнює

 

 

ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ.