Застосування векторного добутку векторів

Розглянемо задачі в яких при їх розв’язанні застосовується векторний добуток векторів.

Задача 1. Обчислення площі паралелограма: згідно з властивостей площа паралелограма дорівнює добуткові його суміжних сторін на синус кута між ними, тобто  тому можна вивести формулу для обчислення площі паралелограма:

                                                  (25)

Формула (25) є формулою для обчислення площі паралелограма.

З обчислення площі паралелограма знаходимо формулу обчислення площі трикутника вона буде дорівнювати половині площі паралелограма, тобто 

                                                (26)

Формула (26) є формулою для обчислення площі трикутника.

 

Приклад 15. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах

Розв’язання:

Застосовуючи формулу (25) отримаємо

 Тому площа дорівнює:

 

Відповідь: Площа паралелограма дорівнює

 

Приклад 16. Знайти площу трикутника з вершинами у точках А(1; 2; 1), В(4; 3; 2), С(2; 4; 4).

Розв’язання:

           Нехай  Знаходимо :

Площа трикутника ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах та :

Відповідь: Площа ΔАВС дорівнює

 

Задача 2. Обчислення моменту сили. Якщо вектор зображує силу, прикладену до точки М, а вектор , то вектор є моментом сили відносно точки О, тобто

                                     (27)

Формула (27) є формулою для обчислення моменту сил.

Приклад 17. Сила  прикладена до точки М(1; 2; 3). Знайти момент цієї сили відносно точки А(3; 2; -1).

Розв’язання:

Знаходимо координати вектора  і застосовуючи формулу (26) отримаємо

Відповідь: Момент сили дорівнює

МІШАНИЙ ДОБУТОК ТРЬОХ ВЕКТОРІВ.