Визначення мішаного добутку трьох векторів і його властивості

 

Нехай дані три довільні вектори . Якщо вектор  векторно помножити на вектор , а потім вектор, який отримаємо при цьому  скалярно помножити на вектор , то в результаті отримаємо число , яке називається мішаним добутком векторів .

 

Геометричне тлумачення мішаного добутку векторів вказує наступна теорема.

 

Теорема 6. Мішаний добуток  дорівнює об’ємові паралелепіпеда, побудованого на приведених до спільного початку векторів , взятих зі знаком „+”, якщо трійка  – права і зі знаком „–”, якщо трійка  ліва. Якщож вектори  компланарні то   дорівнює нулеві.

 

Припустимо, що вектори  не компланарні. Тоді  з точністю до знака, дорівнює висоті h паралелепіпеда побудованого на зведених до спільного початку векторів  при умові, що основою служить паралелограм, побудований на векторах .

 

Отже його об’єм паралелепіпеда обчислюється за формулою

                  (28)

 

Рис.9

Основні властивості мішаного добутку

1.

2. якщо мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, то вектори компланарні.

3. мішаний добуток трьох векторів, два з яких співпадають, дорівнює нулеві.

 

Обчислення мішаного добутку через координати векторів.

Нехай дані координати векторів

то мішаний добуток обчислюється за формулою:

                                                     (29)

формула (29) – формула мішаного добутку, який заданий своїми координатами.

Умова компланарності трьох векторів.

Якщо вектори  компланарні, то , тобто

                                          (30)

Приклад 18. Знайти мішаний добуток векторів .

Розв’язання:

Застосовуючи формулу (28) отримаємо

Відповідь: Мішаний добуток векторів  дорівнює 26.

 

Приклад 19. Перевірити, чи точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежать в одній площині.

Розв’язання:

Умова, чи знаходяться точки в одній площині – це є умова компланарності векторів.

Знайдемо координати векторів  і обчислимо їх мішаний добуток. Отримаємо:

Отже, дані вектори компланарні, тобто лежать в одній площині.

Відповідь: Точки А, В, С, D лежать в одній площині.