Метод конечных разностей

Данный метод имеет несколько разновидностей. Рассм-м более подробно метод элементарных объемов. Т.к. будем рассм-ть тепловые задачи, то будем рассм-ть метод элементарных тепловых балансов. Иногда этот метод наз-ют – методом контрольных объемов. Любая разновидность методов конечных разностей м.б. представлена в виде 3 основных этапов:

1. Дискретизация пространства и построение расчетной сетки. Суть этапа: закл-ся в переходе от непрерывного пространства, для которого решается задача к дискретному.

2. Получение сис-мы алгебраических у-ний, отражающих соотношение между значениями ис­комой ф-ции в точках дискретного пространства.

3. Решение полученной сис-мы алгебраических у-ний. Относительно неизвестных значений ис­комой ф-ции в точках дискретного пространства.

;

.

+ граничные условия

+ начальные условия

+ геометрическая область

+ пар-ры среды.

.

Пусть задана некая область, ограниченная прямоугольником. Требуется найти распределение т-ры внутри этой области при известных граничных условиях и известных теплофизических св-вах среды, заполняющих эту область.

Разобьем нашу область на n уч-ков по оси х, и на m уч-ков по оси y, и поставим задачу найти значение т-ры в узлах полученной сетки. Выберем произвольный узел с дискретными координа­тами ij.

Покажем выделенный узел в совокупности с соседними узлами.

Вокруг рассматриваемого узла выделим элементарный объем, размеры которого будут соответ­ствовать размерам между соседними узлами по одной и по другой оси. Выберем тепловые потоки от соседних узлов к выбранному узлу. Очевидно, что в случае стационарной задачи сумма тепло­вых потоков равна нулю.

.

Тепловой поток будет задан граничными условиями (q1).

1. Граничные условия первого рода: Т=const.

Т=f(y)

.

2. Граничные условия второго рода: q=const.

=К – верно.

3. Граничные условия третьего рода: .

умножим на Δх и разделим на λ.

Нестационарная задача.

0<i<I

0<j<J → у нас 9 у-ний (9 точек).