2014-02-05
375
Если внешнее воздействие f(t) или g(t) имеют доступно плавную форму, то существенные значения имеет лишь конечное m число производных
; 
(9)
Соответствующие составляющие установившихся ошибок могут быть определены из передаточных функций замкнутой системы по ошибкам.
Разложим эти передаточные функции в ряд по возрастающим степеням S:
(10)
Эти ряды, сходящиеся при малых значениях S, то есть при достаточно больших величинах времени t, что соответствует установившемуся режиму.
Учитывая предположение об ограниченном количестве производных из формулы №9, можно получить значение установившихся ошибок от задающего воздействия g(t) и возмущения f(t)
;
(11) Где 
– коэффициент ошибок
;
;…;
(12)
Ошибка от возмущения будет:
;
;…;
(13)
Коэффициент 
отличен от нуля только в статических системах:
(14)
Для статических систем =0.
В статических системах первого порядка: 
В астатических системах второго порядка: 
.
Коэффициенты 
и 
можно получить не по выше приведенным формулам, а путём деления многочлена на многочлен.
Для получения – 
.
Для получения – 
.
Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным показателям качества.
Здесь оценка производится по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой систем. Достоинством этих методов является возможность использования экспериментально снятых частотных характеристик отдельных звеньев САУ.
Рассмотрим метод оценки по АЧХ замкнутой системы, её можно получить из передаточной функции замкнутой системы путём перехода (подстановки)
, тогда получим 
- АЧХ; 
- ФЧХ
Возможные очертания АЧХ замкнутой системы имеют следующий вид:
 |
Для большинства систем управляющая характеристика H(w) имеет резонансный пик Hmax.
Для систем, находящихся на колебательной границе устойчивости характеристика на частоте 
имеет разрыв.
Таким образом, чтобы система была достаточно удалена от границы устойчивости величина типа АЧХ Hmax должна быть ограничена. Чем больше Hmax, тем меньше запас устойчивости.
При исследовании САУ запас устойчивости принято оценивать по показателю колебательности М.
Под показателем М
понимаем следующее значение: М
Обычно считается достаточным запас устойчивости, если показатель колебательности лежит в пределах: 1,1<= М <=1,5
Мерой быстродействия САУ может служить полоса пропускания 
определяются по виду АЧХ замкнутой системы. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие системы.
Показателю колебательности М >1 соответствует резонансная частота 
, которая приблизительно равна частоте колебания замкнутой системы в переходном процессе. При этом время достижения I перерегулирования 
будет примерно равно: 
При условии, что переходный процесс заканчивается за одно, два колебания: 
 |
О запасе устойчивости также можно судить по логарифмическим частотным характеристикам (ЛЧХ) разомкнутой системы, то есть по ЛАХ и ЛФХ. По ним определяется запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде.
Запас устойчивости по амплитуде определяется на частоте 
Такой запас устойчивости считается достаточным, если 
(14)
запас устойчивости по амплитуде определяется по ЛАХ при частоте, на которой 
равняется 180градусов.
запас устойчивости по амплитуде равняется:
(15)
Запас по амплитуде считается достаточным, если он больше 
.
По логарифмическим характеристикам также можно оценить быстродействие системы 
По виду переходных функций также можно оценить запас устойчивости и быстродействия.
 |
Запас устойчивости определяется перерегулированием: 
(16) где 
Переходный процесс считается закончившимся, если:
(17)
Методы синтеза линейных систем.
Повышение точности линейных систем.
Эта задача является одной из центральных в теории автоматического регулирования. Она может решаться за счёт увеличения общего коэффициента усиления разомкнутой системы, повышение порядка астатизма, ввода производных в закон управления за счёт компенсаций возмущений и других методов.
Увеличение общего коэффициента усиления.
Является наиболее распространенным методом. Известно, что значение установившихся ошибок обратно пропорционально общему коэффициенту усиления системы.
Так в статических системах:
(18)
g0 – амплитуда задающего воздействия.
С астатизмом I порядка (скоростная ошибка): 
(19)
В системах с астатизмом II порядка возникает ошибка ускорения:
(20), где 
– ускорение задающего воздействия
Однако от коэффициента усиления зависит не только точность, но и запас устойчивости. При увеличении коэффициента усиления, система обычно приближается к колебательной границе устойчивости, поэтому при повышении точности по этому способу необходимо одновременно обеспечивать запас устойчивости системы.
Увеличение порядка астатизма.
Повышение точности САР этим методом основывается, главным образом, на введении дополнительных интегрирующих или изодромных устройств. Последовательное включение интегрирующих устройств с передаточной функцией: 
(21) или изодромных 
(22)
приводит к повышению порядка астатизма, а следовательно к уменьшению установившихся ошибок, однако при этом снижается запас устойчивости и система становится вовсе неустойчивой.
Пример 1.
Рассмотрим, как влияет на точность увеличение порядка астатизма в системе из-за включения изодромного устройства. Передаточная функция разомкнутой исходной системы:
(23)
коэффициенты ошибок для этой системы можно получить путём разложения передаточной функции замкнутой системы по ошибке в ряд Тейлора или делением числителя на знаменатель:
(24)
Используя формулу разложения:
(25)
мы можем получить коэффициенты ошибок для исходной системы:
(26)
 |
При введения изодромного устройства структурная схема системы:
а передаточная функция разомкнутой системы примет вид:
(27)
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке в этом случае будет следующая:
(28)
Коэффициенты ошибок также будем получать путём деления числителя на знаменатель. 
(29)
При введении изодромного устройства ошибка уменьшилась, т.к. 
Необходимым условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения системы: a(S)=0; ai>0
Достаточными условиями устойчивости по Гурвицу является следующее неравенство: 
, (30) где 
