Доказательство. Категоричность теории натуральных чисел

Категоричность теории натуральных чисел.

Непротиворечивость системы аксиом Пеано.

Независимость аксиом Пеано.

Аксиома 3 не выполняется, т.к.

Система аксиом Пеано не является противоречивой, поскольку существует модель, на которой выполняются эти аксиомы.

Для доказательства категоричности достаточно показать, что две произвольные модели множества натуральных чисел изоморфны между собой.

Рассмотрим две произвольные модели и . Пусть соответствие задано по следующим правилам:

1. ;

2. .

Покажем, что является биекцией. Тем самым и докажем изоморфизм моделей.

Всюду определенность (?)

. , т.к. . Покажем, что . . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .

Однозначность (?)

Покажем, что . Доказательство проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

, т.е. (?)

Предположим, что . , последнее противоречит 1 аксиоме Пеано. Таким образом, предположение неверно.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

Предположим, что .

Итак, доказано, что является отображением. Остается проверить сюръективность и инъективность . Для чего рассмотрим следующую систему множеств: , ,…, ,…, где . Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по , что каждое из этих множеств непустое и одноэлементное, тем самым убедимся в сюръективности и инъективности , соответственно.