Системы линейных уравнений.
а)Системой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
(1)
, где аij – называется коэффициентом системы, а bij – свободным коэффициентом (свободным членом)
Такую систему можно записать в компактной матричной форме: Ах = В, где
Расширенной матрицей системы называется матрица Ă, дополненной свободными членами:
Решением системы называется n значений неизвестных (х1 = l1, x2 =l2…xn=ln), при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему, значит выяснить, совместна она или нет, если совместна, то найти её решения.
|
|
Две системы называются эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и тоже общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот. Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях систем, при условии что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0:
Однородная система всегда совместна, то есть имеет решение, так как х1 = х2 = хn= 0