Формула Крамера

Решение невырожденных линейных систем.

Теорема Кронекера-Капели.

Система линейных алгебраических уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Выводы из теоремы:

1)если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение

2)если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

3)ранг основной матрицы не может быть больше ранга расширенной матрицы

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестных. (система (1))

Эту систему удобно записать в матричной форме: Ах = В, где

Определителем этой матрицы называется:

∆=detA

Если определитель системы отличен от 0 (∆≠0), то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений, в случае ∆≠0.

Умножим обе части уравнения Ах = В на А^-1 →А^-1Ах = А^-1В → Ех = А^-1В → х = А^-1В (2)

Отыскание решения системы по формуле (2) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (2) запишем в виде:

=

А₁₁b₁+A₂₁b₂+…+A_n1b_n – есть разложение следующего определителя по алгебраическим дополнениям:

Определитель ∆₁ получается от определителя ∆, путем замены 1 –ого столбца коэффициентом-столбцом из свободных членов. Итак:

; ;

i = 1,n - формула Крамера