Министерство образования и науки Российской Федерации
Освобождение памяти при удалении элементов списка
Сумма всех элементов списка
Type PElem = ^Elem;
Elem = record
Data: integer
Next: PElem;
End;
Var
Head,tail, p,s: PElem;
Begin
While p<>nil do
Begin
S:=p^.data+s;
P:=p^.next
End;
End.
Type PElem = ^Elem;
Elem = record
Data: integer
Next: PElem;
End;
Var
Head,tail,p: PElem;
Begin
While head<>nil do
Begin
P:=head^.next;
Dispose(head);
Head:=p
End;
End.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ
МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИЯМ
«СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА»
г. Волгодонск, 2010 г.
В дальнейшем мы будем рассматривать, в основном, сооружения, состоящие из стержней – стержневые системы. Отдельные стержни будем называть звеньями, или элементами, которые, соединяясь между собой, образуют кинематические цепи. Места соединения звеньев образуют узлы, которые делятся на четыре основных типа:
I тип – жёсткие узлы. В них сходящиеся элементы соединены друг с другом сварными швами или замоноличиванием бетоном таким образом, что отсутствуют взаимные повороты смежных сечений примыкающих элементов (углы примыкания не изменяются).
II тип – шарнирные узлы. Здесь звенья соединены с помощью цилиндрических или шаровых закреплений, позволяющих стержням свободно поворачиваться относительно центра узла.
III тип – подвижные узлы. Соединение осуществляется с помощью свободно соприкасающихся роликов. В этом узле возможны взаимный поворот и смещение. В идеализированной схеме этого узла каток заменяют шарнирно закрепленным стержнем, длина которого условно считается бесконечной.
IV тип – упругоподатливые узлы. Этот тип узла является промежуточным между узлами I и II типов. При шарнирном соединении звеньев между ними имеются упругие связи, сопротивление которых необходимо преодолеть, чтобы повернуться на некоторый угол. В реальных конструкциях этому типу узла соответствуют заклепочные и болтовые соединения.
90
Пространственный Плоские узлы
узел I типа I типа II типа III типа
IVтипа
Примечание: сплошной линией показана идеализированная схема узла; штриховой линией показана возможная деформация узла.
Узлы бывают простые и сложные, или кратные: каждый сложный узел равен (S-1) простым узлам(S – число сходящихся стержней). Например, для плоского шарнирного узла с 5 сходящимися стержнями получаем
2 3
1 4
Кинематические цепи, образующиеся при соединении звеньев, делятся на изменяемые и неизменяемые. Геометрически изменяемые при сколь угодно малой нагрузке существенно трансформируются, в то время как геометрически неизменяемые воспринимают воздействие внешних нагрузок без заметных изменений своей конфигурации, т.е. размеров и формы. Кинематические цепи бывают открытыми и замкнутыми. Покажем примеры простейших замкнутых кинематических цепей.
Неподвижный диск
Диск |
F F
Неизменяемая Изменяемая Обозначение диска
кинематическая кинематическая
цепь цепь
Неизменяемую кинематическую цепь для краткости будем называть диском. В качестве диска можно рассматривать как отдельный стержень, так и любую часть стержневой системы, неизменяемость которой доказана. Неподвижный в пространстве диск будем называть сооружением, а подвижный – механизмом.
Все сооружения в конечном счёте опираются на Землю, которую принимаем за основной неподвижный диск. Все другие диски, будучи геометрически неизменяемыми, могут перемещаться в пространстве, если их не закрепить определённым образом к неподвижному диску. Увеличим левое изображение. Чтобы ответить на поставленный на рисунке вопрос необходимо выполнить кинематический анализ.
Сооружение или механизм? |
F
Земной
шар
Земля |
Рассмотрим правила образования дисков и сооружений, представляющих собой плоские стержневые системы. Введем понятия о степени свободы и связи.
Степень свободы – направление, в котором объект может перемещаться под действием нагрузки.
Число степеней свободы – количество независимых геометрических параметров, определяющих положение объекта (узла, стержня, диска) в пространстве после его перемещения.
Связь – это всякое устройство, отнимающее степень свободы.
Таким образом, степень свободы и связь – это взаимоисключающие понятия, т.к. перемещение объекта в каком-либо направлении может либо быть, либо не быть.
Например, плоский шарнирный узел можно рассматривать как точку. Он имеет две степени свободы и для их ликвидации необходимо наложить две связи.
y
A1 ∆y A Ax
A Ay
∆x Геометрически неизменяемая
х система – вырожденное сооружение
∆x, ∆y – степени свободы точки AAx, AAy – связи.
∆y |
Покажем геометрически изменяемую систему – простейший механизм
A |
Ax A A1
A1 Ay
1 степень свободы по 1 степень свободы по оси x
оси y и 1 связь по оси x и 1 связь по оси y
Примечание: в данном случае в качестве связи рассматривается стержень, шарнирно прикрепленный к неподвижному диску (Земле). Длина этого стержня условно считается бесконечно большой:. Это дает возможность перемещаться т. А строго по вертикали или строго по горизонтали. Другими словами по перпендикуляру к поставленной связи:.
Плоский стержень можно рассматривать как отрезок прямой, совпадающий с геометрической осью стержня. Он имеет 3 степени свободы и для их ликвидации необходимо наложить 3 связи.
B1
φ |
А B ∆y
Геометрическая ось A B
∆x, ∆y, – степени свободы ∆x
отрезка прямой. Число степеней равно 3 0 x
3 степени свободы
2 пересекающихся шарнирных стержня эквивалентны 1 шарниру
A B
L
Наложено3 связи: неподвижный диск, т.е. сооружение
3 шарнирных стержня эквивалентны 1 глухой заделке
Покажем примеры подвижных дисков, т.е. механизмов:
∆x
А (Тележка)
∆φ (Маятник)
наложено 2 связи: наложено 2 связи:.
имеется 1 степень свободы. имеется 1 степень свободы:
Так как стержень – это частный случай диска, то обобщая, можно сказать, что для обеспечения неподвижности любой диск необходимо прикрепить к Земле тремя основными способами:
1. Поставить три шарнирных стержня, не пересекающихся в одной точке;
2. Поставить шарнир и один шарнирный стержень, не проходящий через шарнир;
3. Поставить одну глухую заделку.
Аналогично можно создавать сложные диски из более простых дисков. Любое число дисков можно собрать в сложный диск без всяких проблем, если использовать только жесткие узлы.
n простых дисков
Сложный диск
Диск |
Рассмотрим образование дисков с узлами II и III типов. Два диска можно соединить в сложный диск, не используя жёсткие узлы, двумя способами:
1. Поставить шарнир и шарнирный стержень, не пересекающий шарнир;
2. Поставить три шарнирных стержня, не пересекающиеся в одной точке.
О2
О1
Oi – точки пересечения двух стержней.
Три простых диска можно соединить в сложный диск без жестких узлов также двумя способами:
1. Поставить три шарнира, не расположенные на одной прямой;
2. Соединить диски попарно двумя стержнями, точки пересечения которых не расположены на одной прямой.
Чтобы получить ещё более сложный диск с использованием шарнирных узлов, необходимо к неизменяемому треугольному диску присоединить каждый последующий узел двумя новыми стержнями. По такому правило образуются фермы.
Обозначим S – число стержней, U – число узлов в ферме. Для основного треугольника. Для последующих (U-3) узлов необходимо добавить 2 (U-3) стержней. Общее количество стержней для всей фермы:
Мы получили необходимое и достаточное условие неизменяемости фермы при данном правиле сборки.Здесь U – узел любой сложности.
S=3
U=3
О1 О1
Ферма –
Получим структурные формулы, определяющие необходимое условие существования диска и сооружения любой сложности. Для кинематической цепи обозначим:
D - число простых дисков, из которых образуется кинематическая цепь;
U0 – число простых шарнирных узлов (U0=D-1);
C –число шарнирных стержней.
До соединения в кинематическую цепь D дисков обладали 3D степенями свободы; после соединения каждый простой шарнирный узел отнимает 2 степени свободы, а каждый шарнирный стержень – 1 степень свободы. Таким образом, число степеней свободы кинематической цепи:
Так как у свободного (незакрепленного) диска число степеней свободы Wд=3, то приравнивая
Wк.ц. = Wд получаем равенство:
Для сооружения число степеней свободы равно нулю, поэтому можно записать
(3)
Равенства (2) и (3) определяют необходимые условия геометрической неизменяемости кинематической цепи (стержневой системы без опор).И инженерного сооружения (Стержневой системы, прикрепленной к Земле). Здесь D – число конструктивных дисков (без Земли).
Условия (2) и (3) являются необходимыми, но не достаточными. Рассмотрим примеры
1. Рама.
а) б)
D
D1 D2 D
С С
A B A B
Кинематическая Инженерное сооружение
цепь (рама)
Для рис. а: - геометрически изменяемая кинематическая цепь, т.е. не диск (1 степень свободы).
Для рис. б: - геометрически неизменяемое сооружение.
2. Ферма ( цифрами показаны количество простых шарниров)
а) б)
4 4
2 2
1 3 2 4 2 3 1
Кинематическая цепь Инженерное сооружение (ферма)
Для рис.а, как простой фермы: - геометрически неизменяемая, т.е. диск.
Для рис.а, как кинематической цепи: – неизменяемая кинематическая цепь, т.е. диск.
Для рис.б, как сооружения: – неизменяемое сооружение.
3. Ферма.
. 1 4 3 2 |
Iпанель IIпанель IIIпанель
Формулу (1) применять нельзя, т.к. нарушено правило образования новых узлов. Но если применить, то получим
По формуле (2) находим
- необходимое условие выполняется, но система изменяема в III панели. Это противоречие объясняется тем, что нарушено основное правило сборки и один из стержней по ошибке оказался во II панели, где он является излишним.
Стержневые системы могут быть статически определимыми или статически неопределимыми. У первых опорные реакции и внутренние усилия находятся из уравнений равновесия всей системы или отдельных ее частей. Для вторых систем таких уравнений недостаточно и приходится рассматривать условия совместности деформаций с использованием теории перемещений. Различают внешнюю, внутреннюю и смешанную статическую неопределимость. Если в системе нельзя найти все реакции из уравнений равновесия, то она внешне неопределима, а если нельзя найти все внутренние усилия, то она внутренне неприодолима.
Приведем примеры.
3 F 2 M F
3 2 F
4 4 1 1 F
A B HB А В
HA MA MB VA VB
VA VB
а) б) в)
а) Рама внешне 3 раза статически неопределима;
б) Рама внутренне 3 раза статически неопределима;
в) Рама 1 раз внешне статически неопределима и 2 раза внутренне статически неопределима, а в общем она 3 раза статически неопределима.
Для плоских стержневых систем в общем случае в каждом элементе возникает три внутренних усилия:
· Изгибающий момент M;
· Поперечная сила Q;
· Продольная сила N.
Их можно найти по методу сечений, если известны реакции.
Степень статической неопределимости равна
Где R – число независимых друг от друга опорных реакций и независимых от них внутренних усилий во всех элементах, U - число независимых уравнений равновесия всей стержневой системы или отдельных ее частей.
В схеме (а) за неизвестные можно принять 6 реакций в опорах А и B. Тогда внутренние усилия Mi, Qi, Ni (i=1,2,3,4) можно выразить, используя метод сечений, через реакции, не добавляя при этом новых неизвестных. Например: и т.д. Для рамы в целом можно составить 3 уравнения равновесия. Таким образом для неё n=6-3=3.
В схеме (б) нет опорных реакций, но здесь возникает проблема замкнутого контура. Разрезав нижний стержень, получаем 3 пары внутренних усилий N1, Q1, M1, которые при записи уравнений равновесия уничтожают друг друга и не могут быть вычислены статическим методом. Но, если их найти каким-то другим методом, то дальше задача легко решается. Для этой схемы R=3 (Следовательно, n=3-0=3.
M1 Q1 |
М
F
Q1 |
M1 |
Таким образом, любой замкнутый контур (внешний или внутренний) с жёсткими узлами всегда три раза неопределим. Каждый шарнирный узел снижает статическую неопределимость на единицу, а каждый подвижный узел снижает её на 2 единицы. Для рамных систем получаем синтезированную формулу:
где K – число замкнутых контуров, образованных стержнями и Землёй; Uш – число внутренних и внешних простых шарниров; Uп – число внутренних и внешних подвижных узлов (катковых опор).
Для фермы степень статической неопределимости можно найти следующим образом: в каждом стержне возникает одно внутреннее усилие – продольная сила N; для каждого узла можно составить 2 уравнения равновесия. Если число стержней S, узлов U, а опорных связей C, то:
Для статически определимой фермы n=0 и мы получаем зависимость между числом стержней, узлов и опорных связей:
Если ферма имеет 3 опорных связи, то:
Если условие (7а) выполняется, то ферма статически определима, если S>2U-3, то ферма статически неопределима, если S<2U-3, то она геометрически изменяема.
Сравнивая формулы (1) и (7а), замечаем, что они полностью совпадают, хотя и получены при изучении различных свойств ферм. Из тождественности формул следует, что статически определимая ферма является геометрически неизменяемой.