Методы исключения грубых погрешностей

Грубая погрешность, или промах – это погрешность резуль­тата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные опе­ратором.

К ним можно отнести:

• неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, про­исходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

• неправильная запись результата наблюдений, значений от­дельных мер использованного набора, например гирь;

• хаотические изменения параметров питающего СИ напряже­ния, например его амплитуды или частоты.

Корректная статистическая обработка выборки возможна только при ее однородности, т.е. в том случае, когда все ее члены принадлежат к одной и той же генеральной совокупно­сти. В противном случае обработка данных бессмысленна. "Чу­жие" отсчеты по своим значениям могут существенно не отли­чаться от "своих" отсчетов. Их можно обнаружить только по виду гистограмм или дифференциальных законов распределе­ния. Наличие таких аномальных отсчетов принято называть загрязнениями выборки, однако выделить члены выборки, при­надлежащие каждой из генеральных совокупностей, практиче­ски невозможно.

Если «свои» и «чужие» отсчеты различаются по значениям, то их исключают из выборки (рис.6.1,а). Особую неприятность дос­тавляют отсчеты, которые хотя и не входят в компактную группу основной массы отсчетов выборки, но и не удалены от нее на зна­чительное расстояние, – так называемые предполагаемые промахи (рис. 6.1,6).

Рисунок 6.1 – Проявление промахов на дифференциальном законе распределения вероятности

Отбрасывание «слишком» удаленных от центра вы­борки отсчетов называется цензурированием выборки. Это осуще­ствляется с помощью специальных критериев.

При однократных измерениях обнаружить промах не представ­ляется возможным. Для уменьшения вероятности появления про­махов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистиче­ские критерии, предварительно определив, какому виду распреде­ления соответствует результат измерений.

Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистиче­ских гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения х_i не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опро­вергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погреш­ность и его исключают.

Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью q (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений.

Критерий «трех сигм» применяется для результатов измере­ний, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если , где S_x – оценка СКО измерений. Величины и S_x вычисляют без учета экстремальных значений х_i. Данный критерий надежен при числе измерений n > 20-50.

Это правило обычно считается слишком жестким, поэтому ре­комендуется назначать границу цензурирования в зависимости от объема выборки: при 6 < n 100 она равна 4S_x; при 100 < n 1000 —4,5S_x; при 1000 < n < 10000 — 5S_x. Данное правило также применимо только для нормального закона.

В общем случае границы цензурирования t_гр, S_х выборки зави­сят не только от объема n, но и от вида распределения. Назначая ту или иную границу, необходимо оценить уровень значимости q, т.е. вероятность исключения какой-либо части отсчетов, при­надлежащих обрабатываемой выборке.

Выра­жение для приближенного расчета коэффициента t_гр при уровне значимости q < 1/(n + 1)

где ε – эксцесс распределения.

Данные выражения применимы для:

• кругловершинных двухмодальных распределений с ε = 1,5, 3, являющихся композицией дискретного двузначного и нормального распределений;

• островершинных двухмодальных распределений с ε = 1,5, 6, являющихся композицией дискретного двузначного распределе­ния и распределения Лапласа;

• композиций равномерного и экспоненциальных распределе­ний с показателем степени α = 1/2 при ε = 1,8, 6;

• экспоненциальных распределений с ε = 1,5, 6.

Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение  и срав­нивается с критерием β_τ, выбранным по табл. 6.1. Если β > β_т, то результат x_i считается промахом и отбрасывается.

Пример 6.3. При диагностировании топливной системы автомобиля ре­зультаты пяти измерений расхода топлива составили: 22, 24, 26, 28, 30 л на 100 км. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по крите­рию Романовского, не является ли он промахом.

Таблица № 6.1

Значения критерия Романовского β = f(n)

Найдем среднее арифметическое значение расхода топлива и его СКО без учета последнего результата, т.е. для четырех измерения. Они соответственно равны 25 и 2,6 л на 100 км.

Поскольку n < 20, то по критерию Романовского при уровне значимо­сти 0,01 и n = 4 табличный коэффициент =1,73. Вычисленное для по­следнего, пятого измерения β = |(25 – 30)|/2,6 = 1,92 > 1,73.

Критерий Романовского свидетельствует о необходимости отбрасыва­ния последнего результата измерения.

Вариационный критерий Диксона удобный и достаточно мощ­ный (с малыми вероятностями ошибок). При его применении получен­ные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастаю­щий ряд x₁, х₂, х_n (х₁ < х₂ < х_n). Критерий Диксона опреде­ляется как . Критическая область для этого критерия Р (К_Д > Z_p) = q. Значения Z_p приведены в табл. 6.2.

Пример 6.4. Было проведено пять измерений напряжения в электросети. Получены следую­щие данные: 127,1; 127,2; 126,9; 127,6; 127,2 В. Результат 127,6 В существенно (на первый взгляд) от­личается от остальных. Прове­рить, не является ля он промахом.

Составим вариационный ряд из результатов измерений напряжения в электросети: 126,9; 127,1; 127,2; 127,2; 127,6 В. Для крайнего члена этого ряда (127,6 В) критерий Диксона

Таблица 6.2

Значения критерия Диксона

Как следует из табл.6.2, по этому критерию результат 127,6 В может быть отброшен как промах лишь на уровне значимости q = 0,10.

Применение рассмотренных критериев требует осмотрительности и учета объективных условий измерений. Конечно, оператор должен ис­ключить результат наблюдения с явной грубой погрешностью и выпол­нить новое измерение. Но он не имеет права отбрасывать более или менее резко отличающиеся от других результаты наблюдений. В сомни­тельных случаях лучше сделать дополнительные измерения (не взамен сомнительных, а кроме них) и затем привлекать на помощь рассмотрен­ные выше статистические критерии. Кроме рассмотренных критериев, существуют и другие, например критерии Граббса и Шовенэ.